A Darmois-tétel egy tétel, amely lehetővé teszi a T statisztika megtalálását egy θ paraméterhez, amelynek elégséges tulajdonsága van.
Még egyszerűbb szavakkal lehetővé teszi a megfelelő statisztika matematikai kifejezésének megtalálását, ha van ilyen.
A Fisher-Neyman faktoring kritériummal kapcsolatban figyelembe vehetjük. A Fisher-Neyman faktoring kritérium egyszerre szolgál annak ellenőrzésére, hogy egy statisztika teljesíti-e az elégség tulajdonságát, és megtalálja az elegendő statisztika matematikai kifejezését (ha van ilyen). Ezzel szemben Darmois tétele csak egy megfelelő statisztika matematikai kifejezésének (ha van ilyen) megtalálását teszi lehetővé.
Tegyük fel, hogy míg a Fisher-Neyman faktoring kritérium előre (keresés) és visszafelé (ellenőrzés) mozog, a Darmois-tétel csak előre mozog (keresés).
Darmois-tétel képlete
Elméletileg kifejezzük, ha egy f (x; θ) sűrűségfüggvényű X véletlen változó egyszerű véletlen mintáját kapjuk θ ∈ Ω-val. Ha ez a függvény az exponenciális családhoz tartozik, vagyis úgy fejezhető ki, hogy:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Ekkor a T = T (x1,…, xn) = Σ a (x) statisztika
A számítások megkönnyítése érdekében általában logaritmikus jelölést hajtanak végre:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Természetesen nehéz megérteni ezt a matematikai jelölést. Sok ismeretlen jelenik meg, sok levél, sok operátor. Határozzuk meg újra köznyelvi szavakkal. Ennek érdekében a példa elméleti meghatározásával kezdjük:
Tegyünk fel egy véletlenszerű mintát 50 gyermekből (egyszerű véletlenszerű minta), akiktől megkérdezzük, mennyi pénzt költenek hetente egy adott sűrűségfüggvényű édességekre (X véletlen változó) (lásd a sűrűségfüggvényt). Tehát, ha ez a sűrűségfüggvény, a következőképpen tudjuk kifejezni:
Megállapítjuk, hogy az elegendő statisztika az a (x) kifejezés összege
A képlet részei a következőképpen vannak meghatározva:
- lnβ (θ): Ez egy olyan függvény, amely csak a paramétertől függ (esetünkben az átlag)
- lnb (x): Ez egy olyan függvény, amely csak az X véletlen változótól függ
- a (x): Ez egy olyan függvény, amely csak X-től függ és megsokszorozza az α (θ)
- α (θ): Ez egy olyan függvény, amely csak a paramétertől függ (esetünkben az átlag)
Darmois-tétel a gyakorlatban
Bár mindannyiunknak megvan a képessége és eszköze az új statisztikák felfedezésére, ez ritkán szokás. Más szavakkal, a közgazdaságtan professzorai és a terület szakértői kutatást végeznek ezeken a témákon.
Személyes alapon nehéz olyan embert találni, aki elkötelezett az ilyen típusú kutatások elvégzése mellett. Így a gyakorlatban ebben a tételben az a fontos, hogy megértsük, honnan származnak ezek az általunk használt statisztikák.
Például ahhoz, hogy valaki felfedezze, hogy az átlag elegendő statisztika, valószínűleg ezt a folyamatot használta.