A mátrixszorzás abból áll, hogy két vagy több mátrixot lineárisan kombinálunk úgy, hogy elemeiket hozzáadjuk az origó mátrixon belüli elhelyezkedésük függvényében, figyelembe véve a tényezők sorrendjét.
Más szavakkal, két mátrix szorzata a mátrixok egyetlen mátrixban történő egyesítése a forrásmátrixok sorainak és oszlopainak elemeinek szorzásával és összeadásával, figyelembe véve a tényezők sorrendjét.
Ajánlott cikkek: mátrixokkal végzett műveletek, négyzetmátrix.
Mátrix szorzás
Adott két mátrix Z Y Y n sor és m oszlop:
Tulajdonságok
- Az eredménymátrix dimenziója a mátrixok dimenziójának kombinációja. Más szavakkal, az eredménymátrix dimenziója az első mátrix oszlopai és a második mátrix sorai lesznek.
Ebben az esetben ezt meg fogjuk találni Zn (Z sorok) egyenlő Ym(Y oszlopai), hogy meg tudja őket szaporítani. Tehát, ha egyenlőek, az eredménymátrix a következő lesz:
Példák
- A mátrixokat kettővel megszorozzuk.
Az eredeti mátrixok méreteinek megőrzése és a folyamat megkönnyítése érdekében kettővel megszorozzuk a mátrixokat.
- A mátrixszorzás nem kommutatív.
Kommutatív tulajdonságrendszer
A kommutatív tulajdonság azt a jól ismert kifejezést képviseli: a tényezők sorrendje nem változtatja meg az eredményt.
Ezt a tulajdonságot a szokásos összeadásban és szorzásban találjuk meg, vagyis amikor olyan objektumot adunk hozzá és szorzunk, amely nem mátrix.
A fenti séma alapján a kommutatív tulajdonság azt mondja nekünk, hogy ha először megsokszorozzuk a kék napot, majd a sárga napot, akkor ugyanazt az eredményt kapjuk (zöld nap), mintha először a sárga, majd a kék napot szoroznánk.
Tehát, ha a mátrixok szorzása nem tartja tiszteletben a kommutatív tulajdonságot, az azt jelenti, hogy a tényezők sorrendje Igen befolyásolja az eredményt. Más szavakkal, nem kapjuk meg a zöld napot, ha megváltoztatjuk a sárga és a kék nap sorrendjét.
Folyamat
Szorozhatjuk az előző mátrixokat, ha a mátrix sorainak száma Z megegyezik a mátrix oszlopainak számával Y. Ugyanis, Zn = Ym.
Miután megállapítottuk, hogy meg tudjuk szorozni a mátrixokat, minden sor elemeit megszorozzuk minden oszloppal, és hozzáadjuk azokat úgy, hogy csak egy szám maradjon abban a pontban, ahol az előző kék oválok egybeesnek.
Először megtudjuk, hol esnek egybe a kék oválisok, majd elvégezzük az elemek szorzatainak összegét.
- Az eredménymátrix első elemére azt látjuk, hogy az oválisok egybeesnek ott, ahol a z elem található11.
- Az eredménymátrix utolsó eleméhez azt látjuk, hogy az oválisok egybeesnek az elemben ésnm.
Elméleti példa
Adott két négyzetmátrix D Y ÉS,
Szorozzuk meg az előző mátrixokat.
A mátrix első sorának megszorzásával kezdjük D a mátrix első oszlopával ÉS. Ezután ugyanezt tesszük, de megtartjuk az egyes mátrixok sorát vagy oszlopát attól függően, hogy meg akarunk-e szorozni egyes elemeket vagy másokat. Addig ismételjük az eljárást, amíg ki nem töltjük az összes hiányt.
Gyakorlat
Bizonyítsuk be, hogy a kommutatív tulajdonság nem teljesül a mátrixok szorzatában.