Egyenlő trapéz - Mi ez, definíció és fogalom
Az egyenlő szárú trapéz olyan, amelynek két nem párhuzamos oldala, az ábra két alapját összekötő oldal azonos hosszúságú.
Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a trapéz négyszög (négyoldalú sokszög), amelynek két oldalát bázisnak nevezik. Ezek párhuzamosak (nem kereszteznek, még akkor sem, ha hosszabbak) és különböző hosszúságúak. A másik két oldala sem párhuzamos.
Az egyenlő szárú trapéz a trapéz három típusának egyike, a jobb trapéz és a skalén trapéz mellett.
Az egyenlő szárú trapéz jellemzői
Az egyenlő szárú trapéz jellemzői közül a következők emelkednek ki:
- Az alábbi ábrán, ha a trapéz egyenlő szárú, az AB és a CD oldal azonos hosszúságú.
- A két belső szög, amelyek ugyanazon az alapon helyezkednek el, ugyanazt mérik. Ha az alábbi kép vezérli, akkor a következő igaz: α = β és δ = γ.
- Az ábra átlói, az AC és a DB azonos hosszúságúak.
- Az ellentétes belső szögek kiegészítő jellegűek. Vagyis egyenes szöget képeznek. Az alsó képen a következőket lehet megfigyelni: α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180º.
- Két belső szöge éles (kevesebb, mint 90º), míg a másik kettő tompa (nagyobb, mint 90º). Így az alábbi ábrán az α és β tompák, míg δ és γ akutak.
- A négy belső szög 360º-ot tesz ki.
- Az egyenlő szárú trapéz az egyetlen típusú trapéz, amely beírható a kerületre. Vagyis négy csúcsa áthaladhat egy kör kerületén (lásd az alábbi rajzot).
- Szimmetriatengelye van, amely az EF képen látható vonal lenne. Ez merőleges az alapokra (derékszöget vagy 90º-os szöget képez), és a középpontjukba vágja őket. Így az említett tengely megrajzolásakor a sokszög két szimmetrikus részre oszlik. Vagyis az egyik oldal minden pontja megegyezik a másik oldalán lévő ponttal, mindkettő egyenlő távolságra van a szimmetria tengelyétől. Például a B és az F pont közötti távolság megegyezik az F és a C pont közötti távolsággal.
Az egyenlő szárú trapéz kerülete és területe
Az egyenlő szárú trapéz jellemzőinek jobb megértése érdekében a következő méréseket számíthatjuk ki:
- Kerület: Hozzáadjuk az ábra mindkét oldalának hosszát: P = AB + BC + CD + AD.
- Terület: Mint minden trapézban, a területének megtalálásához az alapokat hozzáadjuk, elosztjuk kettővel és megszorozzuk a magassággal. Az alább látható képlet szerint:
A magasság kiszámításához két magasságot húzhatunk az A és D csúcsokból, amint az az alábbi ábrán láthatjuk:
Megvan tehát az ADFG háromszög; ahol AD egyenlő FG-vel, és az oldalakon kialakuló háromszögek egybevágnak. Ezért a BF megegyezik a GC-vel. Feltételezzük, hogy mindkettő mér nak nek.
Ezért igaz, hogy:
Most megjegyezzük, hogy az oldalra képzett háromszögek derékszögű háromszögek, így a Pitagorasz-tétel alkalmazható. Például az ABF háromszögben az AB a hipotenusz, míg az AF (a magasságot, amelyet h-nak hívunk) és a BF a lábak.
Azt is szem előtt kell tartanunk, hogy az AB megegyezik a DC-vel. Tehát, ha a fentieket felváltjuk a terület képletébe, akkor megkapjuk a területet a trapéz oldalainak függvényében:
A trapéz területének kiszámításának másik módja, ha megszorozzuk az átlókat, elosztjuk kettővel és megszorozzuk a szög szinuszával, amikor kereszteznek, és emlékeznek arra, hogy mindkét átló egyenlő:
Érdemes megjegyezni, hogy az átló kereszteződésében az ellentétes szögek egyenlőek, és szomszédosuk a kiegészítő szögük.
Tudva, hogy egy szög szinusa megegyezik kiegészítő szögének szinuszával, bármelyik szög megválasztható az átló kereszteződésében.
Összefoglalva, az alábbi képen igaz, hogy: α = γ, β = δ és α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180º
Az átló megtalálásához a következő képletet használhatjuk:
Ezért a terület a következő lenne:
Példa egyenlő szárú trapézra
Képzeljük el, hogy van egy trapézunk, amelynek alapja 4 és 8 méter, míg a nem párhuzamos oldalak mindegyike 3,6 méter, mindkettő egyenlő (tehát a trapéz egyenlő szárú), meddig van a kerület (P), a terület ( A) és az ábra átlója (D)?
