A Gauss-Markov-tétel feltételezések halmaza, amelyet egy OLS (Ordinary Least Squares) becslőnek teljesítenie kell ahhoz, hogy ELIO-nak (Optimal Linear Unbiased Estimator) számítson. ÉSA Gauss-Markov-tételt Carl Friederich Gauss és Andrej Markov fogalmazta meg.
Carl Friederich Gauss és Andréi Márkov megfogalmazott néhány feltételezést annak érdekében, hogy egy OLS-becslőből ELIO válhasson.
Ha ez az 5 feltételezés teljesül, akkor megerősíthetjük, hogy a becslő az összes lineáris és elfogulatlan becslő minimális szórásával (a legpontosabb). Abban az esetben, ha az első három feltételezés bármelyike kudarcot vall (Linearitás, Null átlagos-szigorú exogenitás vagy Nincs tökéletes multikollinearitás), az OLS-becslő már nem elfogulatlan. Ha csak 4 vagy 5 sikertelen (Homoscedasticity és No autocorrelation), a becslő még mindig lineáris és elfogulatlan, de már nem a legpontosabb. Összefoglalva, a Gauss-Markov-tétel kimondja, hogy:
- Az 1., 2. és 3. feltételezés szerint az OLS becslő lineáris és elfogulatlan. Most, amíg nem teljesül az első három feltételezés, biztos lehet abban, hogy a becslő elfogulatlan. Annak érdekében, hogy a becslő következetes legyen, nagy mintával kell rendelkeznünk, annál jobb, annál jobb.
- Az 1., 2., 3., 4. és 5. feltételezés szerint az OLS becslő lineáris, elfogulatlan és optimális (ELIO).
A Gauss-Markov-tétel feltételezései
Pontosabban 5 feltételezés létezik:
1. Lineáris modell a paraméterekben
Ez meglehetősen rugalmas feltételezés. Lehetővé teszi az érdeklődő változók függvényeinek használatát.
2. Semmi átlagos és szigorú exogenitás
Ez azt jelenti, hogy a magyarázatoktól függő hiba átlagértéke megegyezik a feltétel nélküli várható értékkel és nulla. Ezenkívül a szigorú exogenitás megköveteli, hogy a modellhibák ne legyenek összefüggésben semmilyen megfigyeléssel.
Null jelentése:
Szigorú exogenitás:
A semmitmondó és szigorú exogenitás nem sikerül, ha:
- A modell rosszul meghatározott (például a releváns változók kihagyása).
- A változókban mérési hibák vannak (az adatokat nem vizsgálták felül).
- Az idősorokban a szigorú exogenitás kudarcot vall késleltetett endogenitási modellekben (bár létezhet egyidejű exogenitás), és olyan esetekben, amikor visszacsatolási hatások vannak.
A keresztmetszeti adatokban sokkal könnyebb megvalósítani az exogenitás feltételezését, mint az idősorok esetében.
3. Nincs pontos multikollinearitás
A mintában egyik magyarázó változó sem állandó. A magyarázó változók között nincsenek pontos lineáris összefüggések. Nem zárja ki a változók közötti (nem tökéletes) összefüggést. Gauss és Markov szerint, amikor egy modellnek pontos multikollinearitása van, az általában elemzői hibának köszönhető.
4. Homoskedaszticitás
A hiba, tehát az Y varianciája független a magyarázó értékektől és ezen felül az állandó hiba varianciájától. Matematikailag a következőképpen fejezik ki:
Itt van egy homoscedasztikus megjelenésű adatsor.
5. Nincs autokorreláció
Két különböző, X-től függő megfigyelés hibakódjai nem kapcsolódnak egymáshoz. Ha a minta véletlenszerű, akkor nem lesz autokorreláció.
Ahol h értéktől eltérő értékem kell, hogy legyen. Ha a minta véletlenszerű, akkor az adatok és az "i" és "h" megfigyelési hibák függetlenek bármelyik "i" és "h" megfigyelési pártól.
