Mátrixok lineáris transzformációja
A mátrixok lineáris transzformációja olyan mátrixokon keresztül végzett lineáris műveletek, amelyek módosítják az adott vektor kezdeti dimenzióját.
Más szavakkal, egy vektor dimenzióját módosíthatjuk úgy, hogy bármely mátrixszal megszorozzuk.
A lineáris transzformációk a mátrix vektorainak és sajátértékeinek alapja, mivel lineárisan függnek egymástól.
Ajánlott cikkek: mátrixokkal, vektorokkal és sajátértékekkel végzett műveletek.
Matematikailag
Meghatározunk egy mátrixotC a 3 × 2 dimenzió bármelyikét megszorozva a dimenzió V vektorávaln = 2 olyan, hogy V = (v1, v2).
Milyen dimenzióból lesz az eredményvektor?
A mátrix szorzatából származó vektorC3×2vektorralV2×1a 3. dimenzió új V 'vektora lesz.
A vektor dimenziójának ez a változása a mátrixon keresztüli lineáris transzformációnak köszönhető C.
Gyakorlati példa
Adott a négyzetmátrixR 2 × 2 dimenzióval és a vektorralV 2. dimenzió.
A vektor dimenziójának lineáris transzformációjaV ez:
ahol a vektor kezdeti dimenziója V 2 × 1 volt, és most a vektor végső dimenziója volt Látod3 × 1. Ez a dimenzióváltozás a mátrix szorzásával érhető el R.
Képesek-e ábrázolni ezeket a lineáris transzformációkat? Hát persze!
A V 'eredményvektort egy síkban fogjuk ábrázolni.
Azután:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafikusan
Sajátvektorok grafikus ábrázolással
Hogyan állapíthatjuk meg, hogy a vektor egy adott mátrix sajátvektora, csak a grafikonra nézve?
Meghatározzuk a mátrixotD 2 × 2 méret:
A vektorok v1= (1,0) és v2= (2,4) a mátrix sajátvektorai D?
Folyamat
1. Kezdjük az első v vektorral1. Megtesszük az előző lineáris transzformációt:
Tehát ha a vektor v1 a mátrix sajátvektora D, a kapott v vektor1'És vektor v1ugyanabba a vonalba kellene tartozniuk.
Mi képviseljük v1 = (1,0) és v1’ = (3,0).
Mivel mindkettő v1mint V1’Ugyanazon vonalhoz tartozik, v1 a mátrix sajátvektora D.
Matematikailag van egy állandóh(sajátérték) oly módon, hogy:
2. A második v vektorral folytatjuk2. Megismételjük az előző lineáris transzformációt:
Tehát ha a vektor v2 a mátrix sajátvektora D, a kapott v vektor2'És a vektor v2 ugyanabba a vonalba kell tartozniuk (mint a fenti grafikon).
Mi képviseljük v2 = (2,4) és v2’ = (2,24).
Mivel v2 és V2’Ne tartozzon ugyanabba a sorba, v2 nem a mátrix sajátvektora D.
Matematikailag nincs állandóh(sajátérték) oly módon, hogy:
