A Taylor-sorozat egy olyan hatalom-sorozat, amely a végtelenségig terjed, ahol az egyes kiegészítések az előzőnél nagyobb teljesítményre emelkednek.
A Taylor-sorozat minden eleme megfelel az f függvény n-edik deriváltjának, amelyet az a (n!) Faktoriális között értékelünk az a pontban, És mindezt szorozva az n-hatványra emelt x-a-val.
Formai vagy matematikai értelemben a Taylor-sorozat a következő formában van:
A Taylor-sorozat jobb megértése érdekében szem előtt kell tartanunk, hogy az a egy pont az f függvényt érintő egyenesen. Az említett vonal viszont lineáris függvényként fejezhető ki, amelynek meredeksége megegyezik az f pont f függvényével.
Egy másik szempont, amelyet szem előtt kell tartani, hogy f az a pontban n-szer differenciálható függvény. Ha n végtelen, akkor ez egy végtelenül differenciálható függvény.
Egy adott esetben, amikor a = 0, a sorozatot McLaurin-sorozatnak is nevezik.
Különbség a sorozat és a Taylor polinom között
A különbség a sorozat és a Taylor-polinom között az, hogy az első esetben végtelen szekvenciáról beszélünk, míg a másodikban véges sorozatról.
Így a Taylor-polinom egy adott függvény n-szer differenciálható függvényének polinomiális közelítéseként határozható meg (a).
Taylor sorozat példái
Néhány példa a Taylor sorozat variációira:
- Exponenciális függvény:
- Trigonometrikus függvények:
Taylor sorozatú alkalmazások
A Taylor sorozat egyes alkalmazásai:
- Határelemzés.
- Helyhez kötött vagy székpontok elemzése a funkciókban.
- Alkalmazás L'Hopital tételében (korlátok megoldására).
- Integrált becslés.
- Egyes sorok konvergenciáinak és divergenciáinak becslése.
- A pénzügyi eszközök és termékek elemzése, ha az árat nem lineáris függvényként fejezzük ki.
