A kúp egy háromdimenziós geometriai ábra, amelyet egy derékszögű háromszög forgatása képez az egyik lába körül.
A kúp ekkor egy geometrikus test, amelynek kör alakú alapja egy csúcsnak nevezett külső ponthoz kapcsolódik.
Meg kell jegyezni, hogy a kúp egy forradalmi test. Vagyis úgy kaphat, hogy egy alakot vagy egy sík felületet egy tengely körül forgat. Az ilyen típusú ábrák megkülönböztethetők azzal, hogy nem lapos felületek, például sokszög, hanem görbe felületűek. Néhány további példa a henger és a gömb.
Tisztázni kell, hogy ebben a cikkben részletezzük a kúp jellemzőit, azt, ahol a csúcs merőleges az alapra (derékszöget vagy 90 ° -ot alkot). Vannak azonban ferde kúpok, amelyeknél ez a feltétel nem teljesül, és az ábra ferde.
Egy kúp elemei
A kúp elemei, amelyek az alábbi ábrán mutatnak be minket, a következők:
- Tengely: Ez az a képzeletbeli vonal, amelyen a láb található, és amely körül a kúpot alkotó derékszögű háromszög forog.
- Bázis: Ez az a kör, amelyen a kúp teste kialakul. Sugara (r) az AC szakasz.
- Irányelv: Ez a kúp alapjának kerülete.
- Generatrix (L hosszúságú BC szegmens): Ez az a vonal csatlakozik a csúcshoz a direktrix bármely pontjával. Vagyis minden olyan szegmens, amely a csúcsot összeköti az alap kontúrjával. Ezenkívül a derékszögű háromszög hipotenuszát forgatják a kúp kialakításához.
- Kúpcsúcs (B pont): A külső pont az a direktrix, ahol az ábra összes generátuma egybeesik. Ez a geometriai test csúcsa.
- Magasság (h hosszúságú AB szegmens): A merőleges szakasz csatlakozik a csúcshoz és az alaphoz. Ez egybeesik azzal a lábbal, amely körül a háromszög forog, hogy létrehozza a kúpot.
Kúp területe és térfogata
A kúp jellemzőinek jobb megértése érdekében kiszámíthatjuk a következő méréseket:
- Terület: A kúp területének megtalálásához hozzá kell adnunk az alap területét (Ab) plusz az ábra testfelülete vagy oldalirányú területe (AL)
Az alapterület kiszámítása a kerületről szóló cikkben leírtak szerint történik, megszorozva π-t a kerület sugarának négyzetével.
Hasonlóképpen, az oldalterület kiszámításakor megszorozzuk π-t az alap sugarával és a generatrix hosszával (L).
Megtalálhatjuk tehát az ábra teljes területét:
Figyelembe kell vennünk azt is, hogy a generatrix a derékszögű háromszög hipotenusa, amelyet az alap sugarával és a kúp magasságával együtt alkot, utóbbi kettő a lábak. Ezért a Pitagorasz-tétel alkalmazható:
- Hangerő: A kúp térfogatát úgy számoljuk ki, hogy megszorozzuk 1/3-át az alap négyzetének sugarával, π-vel és a kúp magasságával.
Kúp példa
Tegyük fel, hogy van egy kúpunk, amelynek alapsugara 12 méter, az ábra magassága pedig 14 méter. Mekkora a kúp területe és térfogata?
Először a generatrix (L) hosszára oldunk meg, a fentiek szerint a Pitagorasz-tételt alkalmazva:
Ezután csatlakoztatjuk az L-t a terület képletéhez, hogy megtaláljuk a kúp területét:
Végül megtaláljuk a kötetet:
