Beállított algebra - mi ez, definíció és fogalom

A halmazalgebra a matematikán és a logikán belüli tanulmányi terület, amely a halmazok között végrehajtható műveletekre összpontosít.

A halmazalgebra része annak, amit halmazelméletnek ismerünk.

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a halmaz különféle elemek csoportosítása, többek között betűk, számok, szimbólumok, függvények, geometriai ábrák.

Műveletek beállítása

A halmazokkal végzett fő műveletek a következők:

• Unió: Két vagy több halmaz egyesítése tartalmazza azokat az elemeket, amelyek e halmazok legalább egyikéhez tartoznak. U betű jelzi.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Útkereszteződés: Két vagy több halmaz metszéspontja tartalmazza azokat az elemeket, amelyeket ezek a halmazok megosztanak. A fordított U (∩) jelzi. Példa:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Különbség: Az egyik halmaz különbsége a másikhoz képest megegyezik az első halmaz elemeivel, levonva a második elemeit. A szimbólum vagy - jelzi. Más módon nézte meg, x ∈ a A B, ha x ∈ A, de x ∉ B. Példa:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Kiegészítés: Egy halmaz komplementere minden olyan elemet tartalmaz, amely nem szerepel a halmazban (de egy másik univerzális referencia halmazhoz tartozik). Ezt a C felső index jelzi. Példa:

A = (3,9,12,15,18)

U (Univerzum) = A 3 összes többszöröse, amely egész természetes szám kevesebb, mint 30.

NAK NEK^C=(6,21,24,27)

• Szimmetrikus különbség: Két halmaz szimmetrikus különbsége magában foglal minden elemet, amely az egyikben vagy a másikban van, de nem egyszerre mindkettőt. Vagyis a halmazok egyesülése mínusz kereszteződésük. Jelképe: Δ. Példa:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Derékszögű termék: Ez egy olyan művelet, amely új halmazt eredményez, amely elemként tartalmazza a két vagy több halmazba tartozó elemek rendezett párjait vagy sorrendjét. Sorrendben vannak párok, ha ez két halmaz, és párosok, ha kettőnél több halmazunk van. Példa:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

A halmazalgebra törvényei

A halmazalgebra törvényei a következők:

• Idempotencia: A halmaz egyesítése vagy metszése önmagával ugyanazt a halmazt eredményezi:

XUX = X

X∩X = X

• Kommutatív: A tényezők sorrendje nem változtatja meg az eredményt a halmazok egyesülésének vagy metszéspontjának megtalálásakor:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Elosztó: Az X halmaz egyesítése két másik Y és Z halmaz metszéspontjával egyenlő az X és Y egyesülésének az X és Z egyesülésével. Ez:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Továbbá ugyanez a helyzet, ha megfordítjuk a műveletek sorrendjét:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Asszociációs: A több halmaz egyesülésének vagy metszéspontjának működésének feltételei egyértelműen csoportosíthatók, mindig ugyanazt az eredményt kapva:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Morgan törvénye: A két halmaz egyesítésének a komplementere megegyezik a komplementereik metszéspontjával, a két halmaz metszéspontjának a komplementere pedig a komplementereik egyesülésével.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

• Különbség törvény: Egy halmaz különbsége a másikhoz képest megegyezik az első metszésével a második kiegészítésével:

(X-Y) = X∩Y^C

• Kiegészítő törvények:
  • Egy halmaz unióval való egyesülése nem egyenlő az egyetemes halmazgal. XUX^C= U
  • Egy halmaz metszéspontja a komplementerével megegyezik a null vagy az üres halmazgal. X∩X^C=∅
  • Az X halmaz komplementerének komplementere megegyezik az X halmazával. (X^C)^C= X
  • Az univerzális halmaz komplementere megegyezik a null vagy az üres halmazgal. x^C=∅
  • Az üres halmaz komplementere megegyezik az egyetemes halmazgal. ∅^C= U

• Az abszorpció törvényei:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^C∩Y) = XUY
  • X∩ (X^CUY) = X∩Y