A halmazalgebra a matematikán és a logikán belüli tanulmányi terület, amely a halmazok között végrehajtható műveletekre összpontosít.
A halmazalgebra része annak, amit halmazelméletnek ismerünk.
Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a halmaz különféle elemek csoportosítása, többek között betűk, számok, szimbólumok, függvények, geometriai ábrák.
Műveletek beállítása
A halmazokkal végzett fő műveletek a következők:
- Unió: Két vagy több halmaz egyesítése tartalmazza azokat az elemeket, amelyek e halmazok legalább egyikéhez tartoznak. U betű jelzi.
A = (9,34,57,6,9)
B = (10,41,57,9,16)
AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)
- Útkereszteződés: Két vagy több halmaz metszéspontja tartalmazza azokat az elemeket, amelyeket ezek a halmazok megosztanak. A fordított U (∩) jelzi. Példa:
A = (a, r, t, i, c, o)
B = (i, n, d, i, c, o)
A∩B = (i, c, o)
- Különbség: Az egyik halmaz különbsége a másikhoz képest megegyezik az első halmaz elemeivel, levonva a második elemeit. A szimbólum vagy - jelzi. Más módon nézte meg, x ∈ a A B, ha x ∈ A, de x ∉ B. Példa:
A = (21,34,56,17,7)
B = (78,21,17,36,80)
A-B = (34,56,7)
- Kiegészítés: Egy halmaz komplementere minden olyan elemet tartalmaz, amely nem szerepel a halmazban (de egy másik univerzális referencia halmazhoz tartozik). Ezt a C felső index jelzi. Példa:
A = (3,9,12,15,18)
U (Univerzum) = A 3 összes többszöröse, amely egész természetes szám kevesebb, mint 30.
NAK NEKC=(6,21,24,27)
- Szimmetrikus különbség: Két halmaz szimmetrikus különbsége magában foglal minden elemet, amely az egyikben vagy a másikban van, de nem egyszerre mindkettőt. Vagyis a halmazok egyesülése mínusz kereszteződésük. Jelképe: Δ. Példa:
A = (17.81.99.131.65.32)
B = (11.54.71.65.99.27)
AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)
- Derékszögű termék: Ez egy olyan művelet, amely új halmazt eredményez, amely elemként tartalmazza a két vagy több halmazba tartozó elemek rendezett párjait vagy sorrendjét. Sorrendben vannak párok, ha ez két halmaz, és párosok, ha kettőnél több halmazunk van. Példa:
A = (8,15,6,51)
B = (x, y)
AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )
BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )
A halmazalgebra törvényei
A halmazalgebra törvényei a következők:
- Idempotencia: A halmaz egyesítése vagy metszése önmagával ugyanazt a halmazt eredményezi:
XUX = X
X∩X = X
- Kommutatív: A tényezők sorrendje nem változtatja meg az eredményt a halmazok egyesülésének vagy metszéspontjának megtalálásakor:
XUY = XUY
X∩Y = X∩Y
- Elosztó: Az X halmaz egyesítése két másik Y és Z halmaz metszéspontjával egyenlő az X és Y egyesülésének az X és Z egyesülésével. Ez:
XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)
Továbbá ugyanez a helyzet, ha megfordítjuk a műveletek sorrendjét:
X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)
- Asszociációs: A több halmaz egyesülésének vagy metszéspontjának működésének feltételei egyértelműen csoportosíthatók, mindig ugyanazt az eredményt kapva:
XU (XUY) = (XUY) UZ
X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z
- Morgan törvénye: A két halmaz egyesítésének a komplementere megegyezik a komplementereik metszéspontjával, a két halmaz metszéspontjának a komplementere pedig a komplementereik egyesülésével.
(XUY)C= XC∩YC
(X∩Y)C= XCUyC
- Különbség törvény: Egy halmaz különbsége a másikhoz képest megegyezik az első metszésével a második kiegészítésével:
(X-Y) = X∩YC
- Kiegészítő törvények:
- Egy halmaz unióval való egyesülése nem egyenlő az egyetemes halmazgal. XUXC= U
- Egy halmaz metszéspontja a komplementerével megegyezik a null vagy az üres halmazgal. X∩XC=∅
- Az X halmaz komplementerének komplementere megegyezik az X halmazával. (XC)C= X
- Az univerzális halmaz komplementere megegyezik a null vagy az üres halmazgal. xC=∅
- Az üres halmaz komplementere megegyezik az egyetemes halmazgal. ∅C= U
- Az abszorpció törvényei:
- XU (X∩Y) = X
- X∩ (XUY) = X
- XU (XC∩Y) = XUY
- X∩ (XCUY) = X∩Y