A halmazelmélet a matematika (és logika) egyik ága, amely a halmazok jellemzőinek és a közöttük elvégezhető műveletek tanulmányozásának szenteli.
Vagyis a halmazelmélet a halmazokra fókuszált terület. Ezért mind a birtokolt tulajdonságok, mind a közöttük kialakítható kapcsolatok elemzése a feladata. Vagyis annak egyesülése, metszéspontja, kiegészítése vagy más.
Emlékeznünk kell arra, hogy a halmaz az elemek csoportosulása, legyenek azok számok, betűk, szavak, függvények, szimbólumok, geometriai ábrák vagy mások.
Egy halmaz meghatározásához általában meghatározzák azt a jellemzőt, amely elemeiben közös. Például egy A halmaz, amelynek egész számai pozitív és páros számok 20-nál kisebbek.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
A halmazelmélet története
A halmazelmélet története Georg Cantor orosz származású német matematikus munkájára vezethető vissza, akit ennek a tudományágnak az atyjaként tartanak számon.
A Cantor által vizsgált témák közül kiemelkedik például a végtelen halmazok és a numerikus halmazok témája.
Cantor első halmazelméleti munkája 1874-ből származik. Ezenkívül érdemes megemlíteni, hogy gyakori eszmecserét folytatott Richard Dedekind matematikussal, aki hozzájárult a természetes számok tanulmányozásához.
Numerikus halmazok
A numerikus halmazok azok a különféle csoportosítások, amelyekben a számokat különböző jellemzőik szerint osztályozzák. Ez egy absztrakt konstrukció, amelynek fontos alkalmazása van a matematikában.
A numerikus halmazok összetettek, képzeltek, valósak, irracionálisak, racionálisak, egészek és természetesek, és a következő Venn-diagramon szemléltethetők:
Komplex számokKépzeletbeli számokValós számokIrracionális számokRacionális számokEgész számokTermészetes számok
Állítsa be az algebrát
A halmazok algebra magában foglalja a közöttük létrehozható kapcsolatokat.
Így a következő műveletek tűnnek ki:
- Készletek egyesítése: Két vagy több halmaz egyesítése minden elemet tartalmaz, amely legalább az egyikben található.
- Készletek metszéspontja: Két vagy több halmaz metszéspontja magában foglalja azokat az elemeket, amelyekben ezek a halmazok közösek vagy közösek.
- A különbség beállítása: Az egyik halmaz különbsége a másikhoz képest megegyezik az első halmaz elemeivel, levonva a második elemeit.
- Kiegészítő készletek: Egy halmaz komplementere az összes olyan elemet tartalmazza, amely nem szerepel a halmazban (de egy másik referencia halmazhoz tartozik).
- Szimmetrikus különbség: Két halmaz szimmetrikus különbsége magában foglal minden elemet, amely az egyikben vagy a másikban van, de nem egyszerre mindkettőt.
- Derékszögű termék: Ez egy olyan művelet, amely új halmazt eredményez. Elemként tartalmazza a két vagy több halmazba tartozó elemek rendezett párjait vagy sorait (rendezett sorozatokat). Sorrendben vannak párok, ha két halmaz, és több, ha kettőnél több halmaz.