Csebisev egyenlőtlensége - mi ez, definíció és fogalom

Csebisev egyenlőtlensége a statisztikákban használt tétel, amely konzervatív becslést (konfidenciaintervallumot) nyújt annak valószínűségére, hogy a véges varianciával rendelkező véletlen változó egy bizonyos távolságra lesz matematikai várakozásától vagy átlagától.

Formális kifejezése a következő:

X = Becsült érték

µ = A becsült érték matematikai várakozása

Ϭ = A várható érték szórása

k = a szórások száma

Ebből az általános kifejezésből kiindulva és abszolút értéken belül maradva továbbfejleszthetjük a következőket:

Ha figyelünk az előző kifejezésre, akkor látható, hogy a bal oldali rész nem több, mint a megbízhatósági intervallum. Ez mind a becsült érték alsó és felső határát kínálja. Ezért a csebisevi egyenlőtlenség megmondja azt a minimális valószínűséget, hogy a populációs paraméter egy bizonyos számú szóráson belül van az átlag felett vagy alatt. Vagy másképp fogalmazva, megadja annak a valószínűségét, hogy a populációs paraméter ezen a konfidencia intervallumon belül van.

Csebisev egyenlőtlensége hozzávetőleges határokat ad a becsült értékhez. Annak ellenére, hogy bizonyos fokú pontatlansággal bír, nagyon hasznos tétel, mivel véletlen változók széles skálájára alkalmazható, eloszlásuktól függetlenül. Az egyetlen korlátozás ennek az egyenlőtlenségnek a használatához az, hogy k-nak nagyobbnak kell lennie, mint 1 (k> 1).

Példa Cebisevev egyenlőtlenségének alkalmazására

Tegyük fel, hogy egy befektetési alap kezelői vagyunk. Az általunk kezelt portfólió átlagos hozama 8,14%, szórása pedig 5,12%. Például ahhoz, hogy megtudjuk, a hozamunk hány százaléka legalább 3 szórás az átlagos jövedelmezőségünktől, egyszerűen alkalmaznánk a 2. kifejezés előző képletét.

k = 1,96

K értékének behelyettesítése: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%

Ez azt jelenti, hogy az eredmények 73,9% -a a konfidencia intervallumban található, amely az átlagtól 1,96 szóráson helyezkedik el.

Tegyük az előző példát a k értéktől eltérő értékekre.

k = 2,46
k = 3

K értékének behelyettesítése: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%

K értékének behelyettesítése: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%

Az adatok 83,5% -a 2,46 szórástól az átlagtól, 88,9% pedig az átlag 3 szórásától esik.

Csebisev egyenlőtlenségét felhasználva könnyű arra következtetni, hogy minél magasabb a K értéke (annál nagyobb a becsült érték eltérése az átlagától), annál nagyobb a valószínűsége, hogy a véletlen változó a korlátozott intervallumon belül van.