Egy vektor modulusa és a Pitagorasz-tétel

A vektor modulja egy térben orientált szegmens hossza, amelyet két pont és sorrendjük határoz meg.

Más szavakkal, a vektor modulusa a vektor kezdete és vége közötti hosszúság, vagyis a nyíl kezdete és vége.

Adott bármilyen kétdimenziós vektor:

Az információ, amelyet a vektor koordinátái adnak nekünk, azaz vx és vy, az x tengely hossza, az y tengely hossza.

Tehát ha ismerjük a koordinátákat, kiszámíthatjuk a vektor modulusát.

Egy vektor modulusa és a Pitagorasz-tétel

Az előző rajz nem emlékeztet egy geometriai ábrára?

Pontosan el tudjuk képzelni, hogy a vektor melletti koordinátatengelyek téglalapot képeznek, amelynek vx alapja és vy magassága van. Ezt a téglalapot két szimmetrikus háromszögre oszthatjuk, vagyis mindkettőjüknek azonos az alapja és a magassága.

A kék árnyékolású háromszög alapja vx és magassága vy. Tehát ezen információk ismeretében megismerhetjük annak hipotenuszát. Van egy nagyon híres tétel, amelyet Pitagorasz-tételnek hívnak, és amelyet ezekre a számításokra használnak.

Demonstráció

Tudjuk, hogy a Pitagorasz-képlet a következő:

Ahol h a hipotenusz, c az egyik láb és a másik egy láb.

Esetünkben tudjuk, mennyit ér a lábunk, más szóval az alap és a magasság. Tehát ezt az információt bedughatjuk az egyenletbe:

Eltávolítjuk h négyzetét a négyzetgyök alkalmazásával:

Ha azt mondjuk, hogy vx = 3 és vy = 6:

Ezért ha v egy (3,6) koordinátájú vektor lenne, akkor tudnánk, hogy modulusa 6,7082. Pontosan annak modulusa, mert bármely v vektor modulusának képlete a következő:

Látjuk, hogy pontosan az egyenletből hiányzó információk egybeesnek a hipotenuszokkal. Más szavakkal, a vektor hosszát akarjuk kiszámítani, a hipotenusz pedig a háromszög átlója. Ezért arra a következtetésre juthatunk, hogy a Pythagoreus-tétel használata a vektor modulusának kiszámításához érvényes módszer.

Tehát, ha ki kell számolnunk egy vektor modulusát, és nem emlékszünk a képletre, akkor gondolkodhatunk a pitagoraszi tételen és megoldhatjuk a problémát.

A gyakorlat megoldódott

Számítsa ki a v vektor modulusát (-3, -6) koordinátákkal a Pitagorasz-tétel alkalmazásával.

A v vektor koordinátájú (-3,6) modulusa, amelyet a Pitagorasz-tétel képletéből számítottunk ki, szintén 6,7082.