A vektor modulja egy térben orientált szegmens hossza, amelyet két pont és sorrendjük határoz meg.
Más szavakkal, a vektor modulusa a vektor kezdete és vége közötti hosszúság, vagyis a nyíl kezdete és vége.
Adott bármilyen kétdimenziós vektor:
Az információ, amelyet a vektor koordinátái adnak nekünk, azaz vx és vy, az x tengely hossza, az y tengely hossza.
Tehát ha ismerjük a koordinátákat, kiszámíthatjuk a vektor modulusát.
Egy vektor modulusa és a Pitagorasz-tétel
Az előző rajz nem emlékeztet egy geometriai ábrára?
Pontosan el tudjuk képzelni, hogy a vektor melletti koordinátatengelyek téglalapot képeznek, amelynek vx alapja és vy magassága van. Ezt a téglalapot két szimmetrikus háromszögre oszthatjuk, vagyis mindkettőjüknek azonos az alapja és a magassága.
A kék árnyékolású háromszög alapja vx és magassága vy. Tehát ezen információk ismeretében megismerhetjük annak hipotenuszát. Van egy nagyon híres tétel, amelyet Pitagorasz-tételnek hívnak, és amelyet ezekre a számításokra használnak.
Demonstráció
Tudjuk, hogy a Pitagorasz-képlet a következő:
Ahol h a hipotenusz, c az egyik láb és a másik egy láb.
Esetünkben tudjuk, mennyit ér a lábunk, más szóval az alap és a magasság. Tehát ezt az információt bedughatjuk az egyenletbe:
Eltávolítjuk h négyzetét a négyzetgyök alkalmazásával:
Ha azt mondjuk, hogy vx = 3 és vy = 6:
Ezért ha v egy (3,6) koordinátájú vektor lenne, akkor tudnánk, hogy modulusa 6,7082. Pontosan annak modulusa, mert bármely v vektor modulusának képlete a következő:
Látjuk, hogy pontosan az egyenletből hiányzó információk egybeesnek a hipotenuszokkal. Más szavakkal, a vektor hosszát akarjuk kiszámítani, a hipotenusz pedig a háromszög átlója. Ezért arra a következtetésre juthatunk, hogy a Pythagoreus-tétel használata a vektor modulusának kiszámításához érvényes módszer.
Tehát, ha ki kell számolnunk egy vektor modulusát, és nem emlékszünk a képletre, akkor gondolkodhatunk a pitagoraszi tételen és megoldhatjuk a problémát.
A gyakorlat megoldódott
Számítsa ki a v vektor modulusát (-3, -6) koordinátákkal a Pitagorasz-tétel alkalmazásával.
A v vektor koordinátájú (-3,6) modulusa, amelyet a Pitagorasz-tétel képletéből számítottunk ki, szintén 6,7082.