Az antiszimmetrikus mátrix olyan négyzetmátrix, ahol a főátlón kívül eső elemek szimmetrikusan egyenlőek, de a főátló alatt lévő elemek negatív előjelet hordoznak.
Más szavakkal, az antiszimmetrikus mátrix olyan mátrix, amelynek azonos számú sora (n) és oszlopa (m) van, és a főátló mindkét oldalán lévő elemek kiegészítik egymást.
Mivel a főátló felett és alatt található elemek eltolódnak, a főátlón lévő elemek nullák.
Ajánlott cikk: nem szimmetrikus és szimmetrikus mátrix.
Az antiszimmetrikus mátrix jellemzői
Az antiszimmetrikus mátrix jellemzői:
- Négyzetmátrix.
- Szimmetrikus mátrix + negatív előjel (-) a főátló alatt.
- A főátló elemei nullák (0).
Antiszimmetrikus mátrix
Adott egy négyzetmátrix ÁSZ,
Láthatjuk, hogy ugyanazok az elemek hogyan jelennek meg a főátló mindkét oldalán, de azzal a sajátossággal, hogy a főátló alatt lévő elemek előtt negatív előjel látható. Ezenkívül a fő átlót nullák alkotják.
Az antiszimmetrikus mátrix és tükrök
A szimmetrikus mátrixhoz hasonlóan az antiszimmetrikus mátrix is megérthető a tükör példáján keresztül.
Ha a tükörbe nézünk, és felemeljük a jobb karunkat, látni fogjuk, hogy a tükörben ülő ember felemeli a bal karját. Más szavakkal, a tükör mozgása kiegészíti a mieinket, ezért mindkettő összege nulla értéket eredményezne.
A fenti gondolatot a következőképpen fejezhetjük ki és következtethetjük:
(Emeld fel a kezed jobb) - (Emeld fel a kezed bal) = 0
(Emeld fel a kezed jobb) = (Emeld fel a kezed bal)
A főátló tükörként működik, és a főátló mindkét oldalán ellentétes elemeket látunk. A semleges függvény (=) a főátlóra térképez.
Ingatlan
- Az antiszimmetrikus mátrix transzponált mátrixa megegyezik az antiszimmetrikus mátrix szorzatával (-1).
Más szavakkal, olyan lenne, mintha negatív előjelet adnánk az antiszimmetrikus mátrix elé.
Matematikailag,
Láthatjuk, hogy mindkét eljárással ugyanazt az eredményt kapjuk: a mátrix transzponálását vagy az antiszimmetrikus mátrixszal való szorzást (-1).
Nem szimmetrikus mátrix vs Antiszimmetrikus mátrix vs Szimmetrikus mátrix
A szimmetrikus mátrix esetében a tükör példája elegendő ahhoz, hogy ugyanazt a mozgást tükrözze, vagyis ha felemelünk egy karot, akkor láthatunk egy felemelt karot, de nem szükséges meghatározni, mi az. Az antiszimmetrikus mátrix esetében ellenőriznünk kell, hogy melyik karot látjuk a tükörben, és meg kell határoznunk, hogy ez antiszimmetrikus mátrix-e.
Ha felemelünk egy karot, és a tükörben azt látjuk, hogy …
- Ugyanaz a kar fel van emelve, a tükörben lévő személy szempontjából, akkor ez egy szimmetrikus mátrix.
- A szemközti kar fel van emelve, a tükörben lévő személy szempontjából, akkor ez egy antiszimmetrikus mátrix.
- Ha a tükörben lévő ember szempontjából egyetlen kar sem emelkedik, vagy egynél több van emelve, akkor ez egy nem szimmetrikus mátrix.