Inflekciós pont - mi ez, definíció és fogalom
A matematikai függvény inflexiós pontja az a pont, ahol az azt ábrázoló gráf megváltoztatja a konkávit. Vagyis homorúságból domborúvá válik, vagy fordítva.
Az inflexiós pont más szóval az a pillanat, amikor a függvény trendváltoztat.
Ahhoz, hogy ötletet kapjunk, kezdjük azzal, hogy egy grafikus ábrázolással nézzük meg, nagyjából:
Meg kell jegyezni, hogy egy függvénynek több inflexiós pontja lehet, vagy egyáltalán nem. Például egy vonalnak nincs inflexiós pontja.
Lássuk a következő grafikonon egy példát egy több inflexiós ponttal rendelkező függvényre:
Matematikai értelemben az inflexiós pontot úgy is kiszámítjuk, hogy a függvény második deriváltját nullával állítjuk be. Így megoldjuk az egyenlet gyökerét (vagy gyökeit), és Xi-nek fogjuk nevezni.
Ezután Xi-t helyettesítjük a függvény harmadik deriváltjában. Ha az eredmény eltér a nullától, akkor egy inflexiós ponttal állunk szemben.
Ha azonban az eredmény nulla, akkor ki kell cserélnünk az egymást követő származtatott ügyleteket, mindaddig, amíg ennek a származéknak, legyen az a harmadik, negyedik vagy ötödik, értéke eltér 0-tól. Ha a derivált páratlan, akkor ez egy inflexiós pont, de ha ez még nem is.
Fordulópont példa
Ezután nézzünk meg egy példát.
Tegyük fel, hogy a következő funkciónk van:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Ezután helyettesítjük Xi-t a harmadik deriváltban:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Mivel az eredmény eltér a nullától, egy olyan inflexiós pont előtt találjuk magunkat, amely akkor lenne, ha x egyenlő -1,25, y pedig -2,13328, amint az a következő grafikonon látható.
Ebben megfigyelhető, hogy a függvénynek van egy inflexiós pontja:
Most nézzünk meg egy másik példát:
y = x4-54x2
y ’= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
x2=9
Xi = 3 és -3
Ezután kicseréljük a harmadik származékban található két gyököt:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Mivel az eredmény nem nulla, két inflexiós pontunk van (3567) és (-3 567).
Az információk kiegészítése érdekében felkérjük, hogy látogassa meg az inflexiós cikket, ahol ezt a koncepciót általánosabban tárgyaljuk:
Az inflexió meghatározása
