Az X véletlen változó matematikai várakozása az a szám, amely kifejezi annak a jelenségnek az átlagértékét, amelyet ez a változó képvisel.
A várható értéknek is nevezett matematikai várakozás megegyezik egy véletlenszerű esemény fennállásának valószínűségének összegével, megszorozva a véletlenszerű esemény értékével. Más szavakkal, ez egy adatkészlet átlagos értéke. Ezt figyelembe véve, hogy a matematikai várakozás kifejezést a valószínűség elmélete alkotja.
Míg a matematikában egy bekövetkezett esemény átlagos értékét matematikai átlagnak nevezzük. Diszkrét eloszlásokban, minden eseménynél azonos valószínűséggel a számtani átlag megegyezik a matematikai várakozással.
Példa a matematikai várakozásra
Lássunk egy egyszerű példát annak megértésére.
Képzeljünk el egy érmét. Két fej, fej és farok. Mi lenne az a matematikai elvárás (várható érték), hogy ez kijön a fejében?
A matematikai várakozást annak a valószínűségének a kiszámításával számolhatnánk, hogy ha az érmét nagyon sokszor megfordítja, akkor feljön a fej.
Mivel az érme csak e két pozíció egyikében landolhat, és mindkettőnek ugyanaz a valószínűsége, hogy kijön, azt mondjuk, hogy az a matematikai várakozás, hogy kijön a fejéből, egy a kettőből, vagy ami ugyanaz, a az idő.
Tesztet fogunk csinálni, és tízszer fogunk megfordítani egy érmét. Tegyük fel, hogy az érme tökéletes.
Forgások és eredmény:
- Drága.
- Kereszt.
- Kereszt.
- Drága.
- Kereszt.
- Drága.
- Drága.
- Drága.
- Kereszt.
- Kereszt.
Hányszor volt fej (megszámoljuk a C-ket)? Ötször Hányszor került elő a fark (az X-eket számoljuk)? 5 alkalommal. A fej valószínűségének valószínűsége 5/10 = 0,5 vagy százalékban 50% lesz.
Miután az esemény bekövetkezett, kiszámíthatjuk az egyes események számának matematikai átlagát. A drága oldal minden második alkalommal kijött, vagyis az esetek 50% -a. Az átlag megfelel a matematikai elvárásnak.
A matematikai várakozás kiszámítása
A matematikai várakozást az egyes események valószínűségének felhasználásával számítják ki. A képletet, amely ezt a számítást formalizálja, a következőképpen kell megadni:
Hol:
- x = esemény értéke.
- P = A bekövetkezés valószínűsége.
- én = Időszak, amelyben ez az esemény bekövetkezik.
- N = Periódusok vagy megfigyelések teljes száma.
Az esemény bekövetkezésének valószínűsége nem mindig ugyanaz, mint az érmék esetében. Számtalan olyan eset fordul elő, amikor egy esemény nagyobb valószínűséggel kerül elő, mint egy másik. Ezért használjuk a P-t. A képletben a matematikai számok kiszámításakor meg kell szorozni az esemény értékével is. Az alábbiakban egy példát látunk.
Mire használják a matematikai várakozásokat?
A matematikai várakozást mindazon tudományterületeken alkalmazzák, amelyekben a valószínűségi események jelenléte velük együtt jár. Olyan tudományágak, mint az elméleti statisztika, a kvantumfizika, az ökonometria, a biológia vagy a pénzügyi piacok. A világban bekövetkező folyamatok és események nagy száma pontatlan. Világos és könnyen érthető példa a tőzsde.
A tőzsdén mindent a várható értékek alapján számolnak, miért a várható értékek? Mert reméljük, hogy ez megtörténik, de nem tudjuk megerősíteni. Minden a valószínűségeken alapszik, nem a bizonyosságokon. Ha egy eszköz megtérülésének várható értéke vagy matematikai várakozása évi 10%, akkor ez azt jelenti, hogy a múltból származó információk alapján a legvalószínűbb, hogy a megtérülés ismét 10% lesz. Ha csak a matematikai elvárásokat vesszük figyelembe, mint módszert a befektetési döntéseink meghozatalához.
A pénzügyi piac elméletein belül sokan használják ezt a matematikai elvárás fogalmat. Ezen elméletek között van az, amelyet Markowitz hatékony pénztárcákon dolgozott ki.
Számokban, sokat egyszerűsítve, tegyük fel, hogy egy pénzügyi eszköz megtérülése a következő:
Nyereségesség az 1., 2., 3. és 4. évben.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
A várható érték a hozamok összegének és a valószínűségüknek a szorzata. Az egyes jövedelmezőségek "bekövetkezésének" valószínűsége 0,25. Négy megfigyelésünk van, négy év. Minden évben ugyanaz a valószínűség, hogy megismétlik magukat.
Remélem = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Ezen információk figyelembevételével azt mondjuk, hogy az eszköz megtérülésének várakozása 11,25%.
Várható élettartam