Következetes becslő - mi ez, definíció és fogalom
Konzisztens becslő az, amelynek mérési hibája vagy torzítása megközelíti a nullát, amikor a minta mérete a végtelenhez közelít.
Az elfogulatlan becslő definíciójából levonhatjuk azt a következtetést, hogy néha vannak becslési hibáink. Vannak olyan esetek, amikor a minta nagyobbodása esetén a hiba csökken.
Néha az alkalmazott becslő jellemzői miatt a minta méretének növekedésével a hiba is növekszik. Ezt a becslőt nem lenne kívánatos használni. Most, a priori, nem tudjuk, merre alakul az elfogultság. Ha nulla, akkor hajlamos egy bizonyos értékre, vagy a végtelenbe hajlik, mivel a minta mérete növekszik.
Ennek ellenére meg kell határozni a következetesség fogalmát. Számukra azt kell mondanunk, hogy a következetességnek két típusa van. Egyrészt van az egyszerű következetesség. Míg viszont a konzisztencia az átlagos négyzetben található.
Valamilyen szempontból két matematikai eszköz, amelyek lehetővé teszik számításunkat, hogy becslőnk mely szám vagy számok felé konvergál.
PontbecslésEgyszerű konzisztencia
A becslő teljesíti az egyszerű konzisztencia tulajdonságát, ha a következő egyenlet teljesül:
Balról jobbra az egyenlet a következőképpen olvasható: Ha a minta mérete a végtelenbe hajlik, annak a valószínűsége, hogy a becslő értéke és a paraméter értéke közötti abszolút különbség nagyobb, mint a hiba, nulla .
Magától értetődik, hogy az epsilon által észlelt hiba értékének nullánál nagyobbnak kell lennie.
Intuitív módon a képlet azt jelzi, hogy amikor a minta nagysága nagyon nagy lesz, akkor a nullánál nagyobb hiba valószínűsége nulla. Ezzel szemben annak valószínűsége, hogy nincs hiba, ha a minta nagysága nagyon nagy, valószínűséggel szólva gyakorlatilag 100%.
A másodfokú átlagból álló becslő
Egy másik eszköz, amellyel ellenőrizhető, hogy a becslő konzisztens-e, a négyzet alapértéke. Ez a matematikai eszköz még erősebb, mint az előző. Ennek oka az, hogy ennek a feltételnek a követelménye nagyobb.
Az előző szakaszban az volt a követelmény, hogy - valószínűsítve - a hiba elkövetésének lehetősége nulla vagy nagyon nulla közeli legyen.
Most azt követeljük meg, amelyet a következő matematikai egyenlőség határoz meg:
Vagyis ha a minta nagysága nagy, akkor a négyzetes hibák matematikai várakozása nulla. Az egyetlen lehetőség arra, hogy ez az érték nulla legyen, az, hogy a hiba mindig nulla legyen. Miért? Mivel a becslési hibát kettőre emeljük (Estimator - A paraméter valós értéke), az eredmény mindig pozitív lesz. Kivéve, ha a hiba nulla. A kettőre emelt nulla nulla.
Természetesen, ha a határ értéke 0.0001, akkor feltételezhetjük, hogy nulla. Szinte lehetetlen, hogy az alapértelmezett négyzet hibatérkép nullára menjen.
Statisztikailag azt mondjuk, hogy egy becslő konzisztens a másodfokú átlagban, abban az esetben, ha a becslő négyzethibájának várakozása a különböző minták figyelembevételével nulla vagy nagyon közel áll hozzá.
