A háromszög súlypontja az a pont, ahol az ábra mediánjai keresztezik egymást. Centroidként is ismert.
Emlékeztetni kell arra, hogy a medián az a szegmens, amely egyesíti a háromszög csúcsát az ellenkező oldalának középpontjával. Így minden háromszögnek három mediánja van.
Például a fenti háromszögben a súlypont az O pont, a mediánok az AF, BD és CE szegmensek.
A súlypont fontos tulajdonsága, hogy az egyes csúcsoktól mért távolság kétszerese az ellenkező oldaltól mért távolsághoz.
Ennek jobb megmagyarázása érdekében két mediánban két rész különböztethető meg:
- A csúcs és a súlypont közötti távolság, amely a medián hosszának 2/3-a
- A fennmaradó 1/3-a, amely a súlypont és a szemközti oldal középpontja közötti távolság.
A fenti képen például igaz, hogy:
Hogyan lehet megtalálni a háromszög súlypontját?
A háromszög súlypontjának megtalálásához figyelembe kell vennünk, hogy ismerve a háromszög három csúcsának koordinátáit, a súlypont koordinátái megegyeznek a számtani átlagával. Tehát tegyük fel, hogy a csúcsok a következők:
Ekkor a súlypont koordinátái, amelyet O-nak fogunk nevezni, a következők lennének:
Most is meg lehet találni a súlypontot, ha megvannak azok a vonalak egyenletei, amelyek legalább kettőt tartalmaznak a mediánok közül.
Emlékezzünk arra, hogy az analitikai geometriában egy vonal elsőrendű algebrai egyenletként kifejezhető:
y = xm + b
A bemutatott egyenletben y a koordináta tengely koordinátája (függőleges), x az abszcissza tengely koordinátája (vízszintes), m az a meredekség (dőlés), amely a vonalat képezi az abszcissza tengelyhez viszonyítva, és b az a pont, ahol a vonal metszi az ordinátatengelyt.
A fentiek jobb megértése érdekében nézzünk meg egy példát.
Példa a súlypontra
Tegyük fel, hogy van egy háromszögünk, amelynek két csúcsát ismerjük:
A (0,4) és B (-2,1)
Most már ismert, hogy az A csúccsal szemközti oldal középpontja (3,1), és a B csúccsal szemközti oldal középpontja (4, 2,5). Érdemes tisztázni, hogy a pontosvesszőt használjuk, hogy ne tévesszük össze a tizedeseket elválasztó vesszővel.
Először megkeressük az A csúcsból induló mediánt tartalmazó egyenes egyenletét, figyelembe véve, hogy az egyik pontról a másikra haladva a meredekségnek mindig azonosnak kell lennie. A meredekség a függőleges tengely variációja a vízszintes tengely változása között:
Tegyük fel, hogy feltételezzük, hogy az egyenes áthalad egy ponton (x1, y1), amely az A csúcs (0, 4), és azon a ponton (x2, y2), amely az ellenkező oldalának középpontja (3, 1).
Ezután ugyanezt tesszük a B csúccsal (-2,1) és az ellenkező oldalának középpontjával (-4, -2,5):
A következő lépésben kiegyenlítjük a megoldandó két egyenlet jobb oldalát az X tengely értékére, ha mindkettő egybeesik:
Ezután bármelyik egyenletben megoldjuk az y értékét:
Ezért a háromszög súlypontja a derékszögű sík pontja (2,2).