Thales tétele a geometria törvénye, amely azt mondja nekünk, hogy ha egy vonalat párhuzamosan rajzolunk egy háromszög mindkét oldalával, akkor az eredeti háromszöghöz hasonló háromszögünk lesz.
Más szavakkal, ha háromszöget vágunk úgy, hogy az egyik oldalával párhuzamos vonalat húzunk, akkor a korábban létezőhöz hasonló háromszöget kapunk.
Ezen a ponton meg kell jegyezni, hogy két háromszög hasonló, ha a megfelelő szögek egybevágnak (ugyanazt mérik), és homológ oldaluk arányos egymással.
Hogy jobban megértsük, nézzük meg a következő ábrát:
Thales tételéből arra lehet következtetni, hogy α = δ és β = ε
Ezenkívül, amint azt korábban említettük, az oldalak arányosak, így igaz, hogy:
A Plutarchosz történész által közölt anekdota elmondja, hogy Milétosz Thales egyik útja során ezt a tételt használta fel, hogy megismerje az egyiptomi gízai piramisok (Cheops, Khafre és Menkaure) magasságát. Így úgy döntött, hogy egy botot függőlegesen a talajhoz tesz, és várja, hogy a tárgy hossza megegyezzen az általa vetett árnyékkal. Abban az időben a piramis árnyéka is megegyezik a magasságával. Ebben az esetben a hasonló háromszögek a következők:
- Akinek két oldala a rúd és az árnyéka.
- Az a háromszög, amelynek egyik oldala a piramis magassága, másik oldala pedig az árnyéka.
Hogy jobban megértsük, képzeljük el a fenti ábrán, hogy a piramis a D, E és F csúcsok által alkotott, magassága a HE szakasz és az árnyéka, az IE. Eközben a rúd az AB szegmens és árnyéka, a CB. Ezért AB / CB = HE / IE. Ez, figyelembe véve, hogy a napsugarak párhuzamosak (nem kereszteznek vagy hosszabbodnak meg), tehát ugyanazt a szöget alkotják a rúddal, mint a piramisnál (az α és β szög egyenlő).
Thales-tétel példa
Thales tételének jobb megértése érdekében nézzük meg a következő ábrát:
Ha a BC 7,3 métert mér, a DE 3,6 métert, az AB pedig 6,2 métert mér. Mi az AD hossza?
A korábban bemutatott képletben izolálunk, és:
7,3 / 3,6 = 6,2 / Kr
2,0278 = 6,2 / Kr
AD = 3,0575 méter
Thales tételének kiterjesztése
Thales tétele kiterjeszthető bármely két olyan vonal elemzésére, amelyet más, egymással párhuzamos vonalak vágnak, amint az a következő képen látható:
Akkor igaz, hogy:
Ez azért igaz, mert ezeket a vonalakat egy háromszög részeként kell elképzelnünk, vagy ha másképp akarjuk látni, ha meghosszabbítjuk az AB és a CD vonalakat, akkor keresztezik egymást. Jobb, ha a következő képen látjuk:
Thales második tétele
Van egy második Thales-tétel is, amely szerint, ha van egy háromszög, amelyet egy kerület átmérője és két metsző egyenes alkot (két ponton vágják az ábrát), akkor az átmérővel ellentétes szög megfelelő, vagyis , 90º.
Nem szabad megfeledkezni arról, hogy az átmérő az a szegmens, amely a kerület közepén áthaladva összekapcsolja az ábra két ellentétes pontját.
A fentieket jobban láthatjuk a következő képen:
Ezt a tételt ellenőrizhetjük, figyelembe véve, hogy az AC, AD és az AB ugyanazt méri és egyenlő a kerület sugárával (a sugár bármely olyan szakasz, amely a kerület egy pontját összeköti az ábra közepével és egyenlő a felével átmérő). Tehát az ABC és az ABD háromszögek egyenlő szárúak, és két hasonló oldaluk ellentétes szög, amelyek ugyanazt mérik, vagyis:
AC = AD = AB = r (a kerület sugara)
γ = β és α = δ
Ezután, ha meglátjuk a CBD háromszöget, és emlékezünk arra, hogy a háromszög belső szögeinek 180 ° -nak kell lennie, akkor:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (a + β) = 180 °
α + β = 90º
Ezért a CBD háromszög derékszögű háromszög.