Legnagyobb közös osztó és legkevésbé közös többszörös

A legnagyobb közös osztó (GCF) és a legkevesebb közös többszörös (LCM) két olyan érték, amelyek két vagy több szám osztóiból kiszámíthatók.

Bár mindkettőt ugyanazon információ alapján számolják, a GCF-et és az LCM-et nagyon eltérő módon értelmezik.

Egyrészt a GCF a legnagyobb szám, amellyel két vagy több szám felosztható. Ez anélkül, hogy maradék maradna.

Ehelyett az LCM a legkisebb szám, amely teljesíti azt a feltételt, hogy a számkészlet összes elemének többszöröse legyen.

Meg kell jegyezni, hogy egy szám többszöröse egy másiknak, ha pontosan n-szer tartalmazza. Vagyis egy szám b többszöröse nak nek mikor b=nak nek*s, lét s egy egész szám.

A különbség jobb megértése érdekében használhatunk egy példát a következő számokkal: 450, 765 és 135.

Először az egyes ábrákat osztókra bontjuk. Ezek azok a számok, amelyekben egy másik n pontosan annyiszor szerepel.

450= (3^2)*(5^2)*2

765= (3^2)*5*17

135= (3^3)*5

Tehát a GCF kiszámításához a közös osztókat a legalacsonyabb teljesítményükre vinnénk:

GCF = (3 2) * 5 = 45

Hasonlóképpen, az lcm-hez az összes elválasztót elvesszük, még azokat is, amelyek nem ismételik meg önmagukat, maximális erejükre emelve őket:

lcm = (3 3) * (5 2) * 2 * 17 = 22 950

A GCF és az LCM kapcsolata

Két szám esetén a következő képlet igaz:

Vagyis 4368 és 308 esetén

4.368= (2^4)*13*7*3

308= (2^2)*11*7

Tehát az lcm a következő lenne: (2 2) * 7 = 28

Ezért a GCF a következő képlettel oldható meg:

GCD = 4,368 * 308/28 = 48,048

Néhány tulajdonság

Néhány figyelembe veendő tulajdonság a következő:

• Ha két prímszámunk van (amelyeket csak önmagukkal és egyet oszthatunk meg, hogy egy egész számot kapjunk), akkor az LCM a szorzásuk összege. Hasonlóképpen, a legnagyobb közös tényezője az 1. Például, ha van 11 és 103, akkor LCM értéke 1133 és GCF értéke 1.
• Két vagy több szám legnagyobb közös osztója az ilyen számok legkevésbé közös többszörösének osztója. A számítás ugyanis ugyanazon tényezők alapján történik. Például, ha 132, 336 és 1 314 van

132= (2^2)*3*11

336= (2^4)*3*7

1.314= (3^2)*73*2

Azután,

GCF = 3 * 2 = 6

lcm = (2 4) * (3 2) * 7 * 11 * 73 = 809,424

És ellenőrizzük, hogy az LCM a GCF többszöröse: 809.424 / 6 = 134.904