A legnagyobb közös osztó (GCF) és a legkevesebb közös többszörös (LCM) két olyan érték, amelyek két vagy több szám osztóiból kiszámíthatók.
Bár mindkettőt ugyanazon információ alapján számolják, a GCF-et és az LCM-et nagyon eltérő módon értelmezik.
Egyrészt a GCF a legnagyobb szám, amellyel két vagy több szám felosztható. Ez anélkül, hogy maradék maradna.
Ehelyett az LCM a legkisebb szám, amely teljesíti azt a feltételt, hogy a számkészlet összes elemének többszöröse legyen.
Meg kell jegyezni, hogy egy szám többszöröse egy másiknak, ha pontosan n-szer tartalmazza. Vagyis egy szám b többszöröse nak nek mikor b=nak nek*s, lét s egy egész szám.
A különbség jobb megértése érdekében használhatunk egy példát a következő számokkal: 450, 765 és 135.
Először az egyes ábrákat osztókra bontjuk. Ezek azok a számok, amelyekben egy másik n pontosan annyiszor szerepel.
450= (3^2)*(5^2)*2
765= (3^2)*5*17
135= (3^3)*5
Tehát a GCF kiszámításához a közös osztókat a legalacsonyabb teljesítményükre vinnénk:
GCF = (3 2) * 5 = 45
Hasonlóképpen, az lcm-hez az összes elválasztót elvesszük, még azokat is, amelyek nem ismételik meg önmagukat, maximális erejükre emelve őket:
lcm = (3 3) * (5 2) * 2 * 17 = 22 950
A GCF és az LCM kapcsolata
Két szám esetén a következő képlet igaz:
Vagyis 4368 és 308 esetén
4.368= (2^4)*13*7*3
308= (2^2)*11*7
Tehát az lcm a következő lenne: (2 2) * 7 = 28
Ezért a GCF a következő képlettel oldható meg:
GCD = 4,368 * 308/28 = 48,048
Néhány tulajdonság
Néhány figyelembe veendő tulajdonság a következő:
- Ha két prímszámunk van (amelyeket csak önmagukkal és egyet oszthatunk meg, hogy egy egész számot kapjunk), akkor az LCM a szorzásuk összege. Hasonlóképpen, a legnagyobb közös tényezője az 1. Például, ha van 11 és 103, akkor LCM értéke 1133 és GCF értéke 1.
- Két vagy több szám legnagyobb közös osztója az ilyen számok legkevésbé közös többszörösének osztója. A számítás ugyanis ugyanazon tényezők alapján történik. Például, ha 132, 336 és 1 314 van
132= (2^2)*3*11
336= (2^4)*3*7
1.314= (3^2)*73*2
Azután,
GCF = 3 * 2 = 6
lcm = (2 4) * (3 2) * 7 * 11 * 73 = 809,424
És ellenőrizzük, hogy az LCM a GCF többszöröse: 809.424 / 6 = 134.904