Nem szimmetrikus mátrix - Mi ez, definíció és fogalom

A nem szimmetrikus mátrix egy nem négyzet alakú mátrix, ahol az átültetett mátrix elemei különböző helyzetben vannak, mint az eredeti mátrix elemei.

Más szavakkal, a nem szimmetrikus mátrix olyan mátrix, ahol az (n) sorok száma eltér az oszlopok számától (m), és a mátrix transzpozíciója eltér az eredeti mátrixtól.

Fontos, hogy ne keverjük össze a nem szimmetrikus mátrixokat az antiszimmetrikus mátrixokkal, mivel ezek nagyon különböző fogalmak, és a mátrixon belül különböző elemekre utalnak.

Ahhoz, hogy a mátrix szimmetrikus legyen, négyzetmátrixnak kell lennie, és meg kell egyeznie az átültetett mátrixszal. Más szóval, hogy az (n) sorok száma megegyezik az oszlopok számával (m), és hogy a mátrix elemei nem változnak, ha az oszlopokat megváltoztatták a sorok.

Matematikailag a szimmetria fogalma azt jelenti, hogy az átültetési műveletet alkalmazva a mátrix elemei nem változnak.

A szimmetrikus mátrix és tükrök

Jobban megértjük a nem szimmetrikus mátrix fogalmát, ha belegondolunk a tükör által kiváltott hatásba.

Ha a tükörbe nézünk, látni fogjuk az arcunkat; ha emelünk egy kezet, akkor egy kéz is felemelkedik a tükörben. Ugyanúgy, mint ha bármilyen mozdulatot teszünk, ugyanaz a visszavert gesztus jelenik meg.

Nos, ugyanez történik a szimmetrikus mátrix főátlójával is. A főátló alatt vagy felett azonos elemek lesznek. Vagyis egy szimmetrikus mátrix főátlója a körülötte lévő elemek tükröként működik.

Adott egy szimmetrikus mátrix S,

Mátrix S átültetése a következő formában lenne:

További információk a matematikai tulajdonságokról a szimmetrikus mátrixról szóló cikkben találhatók.

A nem szimmetrikus mátrix és tükrök

A nem szimmetrikus mátrix esetében olyan, mintha a tükör eltört volna.

És ha egy tükör eltörik, nem tükrözi jól az előtte lévő elemeket. Felemelhetjük a jobb kezet, és láthatjuk, hogy négy kéz van felemelve vagy egyik sem.

Tehát ugyanazt a logikát alkalmazva a nem szimmetrikus mátrix arról szól, hogy nincsenek ugyanazok az elemek a főátló felett vagy alatt, és hogy nem egyenlőek.

Oly módon, hogy:

Ebben a mátrixban nem találjuk a főátlót, ezért nincs szimmetria az elemek számában. Továbbá, ha átültetjük az előző mátrixot, látni fogjuk, hogy az nem őrzi meg eredeti állapotát.

Mátrix NS átültetése a következő formában lenne:

Önéletrajz

Amikor találkozunk a nem szimmetrikus mátrix fogalmával, csak a szimmetrikus mátrixra kell gondolnunk, és a tagadást el kell helyeznünk a jellemzői elé. Vagyis egy nem szimmetrikus mátrix olyan lesz, hogy kielégítse:

• Mátrix nem négyzet.
• Átültetett mátrix nem egyenlő az eredeti mátrixszal.

Könnyűnek tűnhet emlékezni arra, hogy mi a nem szimmetrikus mátrix, de amikor antiszimmetrikus mátrixokkal dolgozunk, néha összekeverjük a fogalmakat.