A Cramér-Rao kötés (CCR) az a minimális variancia, amelyet a rendszerességi feltételek mellett egy paraméter becslője elérhet.
Más szavakkal, azt a varianciát keressük, amely a legközelebb van ehhez az alsó határhoz, hogy megtaláljuk a legjobb becslést az elfogulatlanság és a hatékonyság tulajdonságai szerint.
Javasoljuk, hogy olvassa el a becslők tulajdonságait
Ezeket a tulajdonságokat akkor használjuk, amikor egy becslőt kell választanunk egy ökonometriai elemzés elvégzéséhez. Ha azt akarjuk, hogy eredményeink legalábbis meggyőzőek legyenek, akkor megköveteljük, hogy a becslő legyen elfogulatlan, és hogy az összes elfogulatlan becslő közül a lehető legkisebb legyen a szórás (hatékonyság).
Bár figyelembe vesszük az összes elfogulatlan becslőt, a minimális varianciabecslő után kutatva előfordulhat, hogy van egy másik elfogulatlan becslő, amelynek kisebb a szórása.
Annak érdekében, hogy egyetlen elfogulatlan, minimális szórással rendelkező becslő ne kerüljön el minket, megállapítunk egy minimális vagy alsó határt, amelyet egy paraméter elfogulatlan becslőjének szórása nem haladhat meg.
Csak azért nézzük az elfogulatlan becslőket, mert az elfogult becslők eltérései kisebbek lehetnek, mint a CCR.
Megfogalmazás
Meghatározzuk:
f (X; Θ): valószínűségi sűrűségfüggvény.
E (·): matematikai remény.
I (Θ): Egy paraméter Fisher-információi.
Az X véletlen változó megfigyelésében szereplő paraméter értékének "információmennyiségét" képviseli.
Képlet:
Ne essen pánikba! Mit láthatunk első pillantásra ebből a képletből?
- Láthatjuk, hogy ez nem szigorú egyenlőtlenség (≥) az egyenlőség (=) helyett. Bizonyos esetekben ugyanis nem találunk (nem létezik) elfogulatlan becslőt, amely eléri a CCR-kötést. Ezért azt mondjuk, hogy egy elfogulatlan becslő varianciáját keressük, amely a lehető legközelebb van ehhez az alsó határhoz. Ezenkívül a CCR megmondja, hogy mi lesz a becslő minimális szórása, ez alatt az ábra nem található.
- A jobb oldali rész (var (Θ ’) a paraméterünk becslésének szórása.
- A bal oldali rész (1 / J (Θ)) a variancia legyőzhetetlen minimuma.
- Ha egy (abszolút) minimumot keresünk a ator becslőjének varianciájához, akkor logikus, hogy részleges derivatívák (deriváltak Θ vonatkozásában) jelennek meg.
- A közgazdaságtanban a részleges deriváltakat első és másodrendű körülmények között használják a hasznossági függvények optimalizálása érdekében: keresse meg a relatív és az abszolút maximumokat, illetve a minimumokat.
- A CCR az Θ paraméter első parciális deriváltját használja az f (X; Θ) valószínűségi sűrűségfüggvényre.
- A számítás megkönnyítése érdekében egyes esetekben a második származtatott és alternatív Fisher-információt használják a CCR megszerzéséhez.
Azokat a becsléseket, amelyek elfogulatlanságuk miatt a CCR-rel egyenlőek, akkor a leghatékonyabbnak tekintik. Hasonlóképpen, azokat az elfogulatlanokat, akiknek szorosabb a szórása, viszonylag hatékonyabbnak tekintjük, mint a többi becslőt (távolabb).