A kamatlábak egyensúlyi modelljei Brown-i geometriai folyamaton és a rövid távú kamatlábak kockázatsemlegességén alapuló egyensúlyi modellek.
Más szóval, az egyensúlyi kamatláb-modellek rövidebb távú kamatlábakat használnak a jövőbeli kamatlábak kiszámításához, figyelembe véve a kamatlábak időbeli szerkezetét.
A rövid lejáratú kamatlábak referenciájaként a nulla kuponos kötvény. Ilyen például a rövid távon kibocsátott spanyol kincstárjegy.
Ajánlott tételek: nulla kuponkötvény, opció és átlagos visszafizetési lehetőség.
A nulla szelvényes kötvényárak időbeli szerkezetét a Brown-i geometriai folyamatból nyerik, amely a rövid távú kamatlábak végtelen változását rögzíti.
Nulla kuponos kötvényárakat használnak a nulla kuponos kötvény opciók és a kupon kötvény opciók árának értékelésére.
Tehát a jövőbeni zéró-kuponos kötvényárak kiszámításához rövid távú zéró-kuponos kamatlábakra van szükségünk. Ily módon felépíthetjük a nulla szelvényes kamatláb görbéjét vagy időszerkezetét is. Miután megvan a görbe, meghatározhatjuk a hosszú távú kamatlábak alakulását a rövid távú kamatlábak alapján.
A Vasicek-modell alapján számított nulla szelvényű kötvények futamideje vagy kamatláb-görbéje:
Az egyensúlyi modell feltételezése a kamatlábakról
A modell feltételezései a következők:
- Kockázat semlegesség.
Semleges kockázatot vállalunk, mint a pénzügyi piacok eszközértékelésének klasszikus feltételezését. Ez a feltételezés kulcsfontosságú a kötvény árának Monte Carlo szimulációval történő megszerzéséhez.
- A kötvények és a kamatlábak log-normális eloszlása.
Feltételezzük a log-normális eloszlást, mivel a kamatlábakat pozitív változónak vesszük fel, mint például a kötvényárak. Nem lenne értelme negatív árú kötvényeket értékelni. A kamatlábak log-normális eloszlását feltételezve azt mondhatjuk, hogy a kamatlábak Brown-i geometriai folyamatot követnek. Ha a kamatlábak eloszlása normális eloszlás lenne, akkor azt mondanánk, hogy a kamatlábak Brown-számtani folyamatot követnek.
Egyfaktoros egyensúlyi modellek
Az egyfaktoros egyensúlyi modellek modellek a kamatlábak rövid távú kamatlábakból történő kiszámításához.
Egyetlen tényezőről mondunk, mivel a kockázatot vagy a bizonytalanságot egyetlen tényező adja: a kamatlábak volatilitása. Vannak kétfaktoros egyensúlyi modellek, amelyek több lehetőséget kínálnak a kamatmozgásokban.
Matematikailag meghatározzuk a forma egyfaktoros egyensúlyi modelljét:
Hol,
- r (t): rövid távú kamatlábak a t pillanat pillanatában.
- dr: a kamatlábak (r) változása az idő múlásával (dt).
- dt: az idő múlása = az idő alakulása.
- m (r) dt: irány vagy trend (m), amelyet a kamatlábak (r) vesznek az idő múlásával (dt).
- s (r): a kamatlábak szórása (r).
- dZ: véletlenszerű komponens vagy zavar, amely normális eloszlást követ 0 és 1 szórással.
A fenti kifejezés a sztochasztikus differenciálegyenlet az Itô-folyamat révén fejezik ki.
Modelltípusok
A leggyakoribb egyfaktoros egyensúlyi modellek a következők:
- Rendleman és Bartter modell.
- Vasicek modell.
- Cox, Ingresoll és Ross modell.
