Mátrix másodfokú forma - mi ez, definíció és fogalom

A mátrix másodfokú alakja annak a szorzatának a szorzata, amely az n rendű vektor bármelyik négyzetmátrixszal szorozódik az n rendű vektorral transzponált vektorral.

Más szavakkal, a mátrix kvadratikus forma egy négyzetmátrix, egy n nagyságrendű vektor és ennek a vektornak a transzpozíciója.

Ajánlott cikk: mátrixokkal végzett műveletek.

Mátrix másodfokú képlet

Adott egy négyzetmátrix Z n rendû és n dimenziós h vektorral írhatjuk az alak kvadratikus alakjának nevezett kifejezést:

A másodfokú forma eredménye mindig skalár lesz, vagyis egyetlen szám, nem pedig mátrix.

Alkalmazások

A mátrix másodfokú formát használják a meghatározott mátrixok pozitivitásának és negativitásának mértékére. A h vektor értékeitől függően a másodfokú forma értéke nulla (0), pozitív vagy negatív lesz.

Miután megszereztük a másodfokú alakot, azt mondhatjuk, hogy "definiáltuk" a mátrixot. Tehát egy meghatározott mátrixról beszélhetünk. Ez a mátrix lehet pozitív határozott, pozitív félhatározott, negatív határozott és negatív félhatározott.

Gyakorlati példa

A négyzetmátrix kvadratikus alakjának megtalálása Z adott h vektor:

Folyamat

Először átültetjük a h vektort.

Ezután alkalmazzuk a másodfokú képletet.

Mint már korábban mondtuk, a másodfokú forma eredménye mindig egyetlen szám lesz. Ebben az esetben szigorúan pozitív szám.

De … Hogyan lehet, hogy az eredmény konkrét szám és nem mátrix, ha mátrixokat szorzunk?

A mátrix dimenziójának a szorzásból történő csökkenése azért következik be, mert olyan mátrixokat szaporítunk, amelyek azonos oszlopok és sorok számával rendelkeznek.

Demonstráció:

A mátrix szorzatból Z és a transzponált h vektorból megmarad egy 3 × 1 méretű vektor. Ugyanígy az eredményvektor és a h szorzata az 1 × 1 dimenziójú mátrix marad. Az 1 × 1 dimenziójú mátrix skalár.

Tehát, ha kiszámítjuk a mátrix kvadratikus alakját, és 1 × 1-nél nagyobb dimenziójú mátrixot kapunk (egy adott számtól eltérő eredményt kapunk), az azt jelenti, hogy valamilyen lépésben hibát követtünk el, és hogy az eredmény rossz.