A mátrix másodfokú alakja annak a szorzatának a szorzata, amely az n rendű vektor bármelyik négyzetmátrixszal szorozódik az n rendű vektorral transzponált vektorral.
Más szavakkal, a mátrix kvadratikus forma egy négyzetmátrix, egy n nagyságrendű vektor és ennek a vektornak a transzpozíciója.
Ajánlott cikk: mátrixokkal végzett műveletek.
Mátrix másodfokú képlet
Adott egy négyzetmátrix Z n rendû és n dimenziós h vektorral írhatjuk az alak kvadratikus alakjának nevezett kifejezést:
A másodfokú forma eredménye mindig skalár lesz, vagyis egyetlen szám, nem pedig mátrix.
Alkalmazások
A mátrix másodfokú formát használják a meghatározott mátrixok pozitivitásának és negativitásának mértékére. A h vektor értékeitől függően a másodfokú forma értéke nulla (0), pozitív vagy negatív lesz.
Miután megszereztük a másodfokú alakot, azt mondhatjuk, hogy "definiáltuk" a mátrixot. Tehát egy meghatározott mátrixról beszélhetünk. Ez a mátrix lehet pozitív határozott, pozitív félhatározott, negatív határozott és negatív félhatározott.
Gyakorlati példa
A négyzetmátrix kvadratikus alakjának megtalálása Z adott h vektor:
Folyamat
Először átültetjük a h vektort.
Ezután alkalmazzuk a másodfokú képletet.
Mint már korábban mondtuk, a másodfokú forma eredménye mindig egyetlen szám lesz. Ebben az esetben szigorúan pozitív szám.
De … Hogyan lehet, hogy az eredmény konkrét szám és nem mátrix, ha mátrixokat szorzunk?
A mátrix dimenziójának a szorzásból történő csökkenése azért következik be, mert olyan mátrixokat szaporítunk, amelyek azonos oszlopok és sorok számával rendelkeznek.
Demonstráció:
A mátrix szorzatból Z és a transzponált h vektorból megmarad egy 3 × 1 méretű vektor. Ugyanígy az eredményvektor és a h szorzata az 1 × 1 dimenziójú mátrix marad. Az 1 × 1 dimenziójú mátrix skalár.
Tehát, ha kiszámítjuk a mátrix kvadratikus alakját, és 1 × 1-nél nagyobb dimenziójú mátrixot kapunk (egy adott számtól eltérő eredményt kapunk), az azt jelenti, hogy valamilyen lépésben hibát követtünk el, és hogy az eredmény rossz.