A Laplace-szabály egy olyan módszer, amely lehetővé teszi a 3 × 3 vagy nagyobb méretű négyzetmátrix determinánsának gyors kiszámítását egy rekurzív tágulási sorozat segítségével.
Más szavakkal, Laplace szabálya a kezdeti mátrixot alacsonyabb dimenziós mátrixokká alakítja, és előjelét az elem mátrixban elfoglalt helye alapján állítja be.
Ez a módszer sorok vagy oszlopok segítségével hajtható végre.
Ajánlott cikkek: mátrixok, mátrix tipológiák és a mátrix meghatározói.
Laplace szabályképlete
Adott egy mátrix Zmxn bármilyen dimenzió mxn,ahol m = n, az i-edik sorhoz képest kitágul, majd:
- Dija determináns, amelyet az i-edik sor és az i-edik oszlop eltávolításával kapunk Zmxn.
- Mijaz i, j-edik Kevésbé. A meghatározó Dijfüggvényében Miji-nek, j-nek nevezzük kofaktora mátrix Zmxn.
- nak nek a helyzet előjelének beállítása.
Elméleti példa Laplace szabályára
Meghatározzuk NAK NEK3×3 Mit:
- Kezdjük az első elemmel a11. Reszeljük az alkotó sorokat és oszlopokat11. A rács nélkül maradt elemek lesznek az első meghatározó tényezők Kevésbé szorozva a-val11.
2. Az első sor második elemével folytatjuk, vagyis a12. Megismételjük a folyamatot: lereszeljük azokat a sorokat és oszlopokat, amelyek tartalmazzák12.
Beállítjuk a kiskorú előjelét:
Hozzáadjuk a második meghatározót Kevésbéaz előző eredményhez, és olyan bővítési sorozatot alkotunk, amely:
3. Az első sor harmadik elemével folytatjuk, vagyis a13. Megismételjük a folyamatot: lereszeljük azt a sort és oszlopot, amely tartalmazza13.
Hozzáadjuk a harmadik meghatározót Kevésbé az előző eredményre, és kibővítjük a bővítési sorozatot úgy, hogy:
Mivel az első sorban már nincs több elem, lezárjuk a rekurzív folyamatot. Kiszámoljuk a determinánsokat kiskorúak.
Ugyanúgy, ahogy az első sor elemeit használták, ez a módszer oszlopokkal is alkalmazható.
Laplace-szabály gyakorlati példája
Meghatározzuk NAK NEK3×3Mit:
1. Kezdjük az első r résszel11= 5. Reszeljük az alkotó sorokat és oszlopokat11= 5. A rács nélkül maradt elemek lesznek az első meghatározó tényezők Kevésbé szorozva a-val11=5.
2. Az első sor második elemével folytatjuk, vagyis r12= 2. Megismételjük a folyamatot: reszeljük az r-t tartalmazó sorokat és oszlopokat12=2.
Beállítjuk a kiskorú előjelét:
Hozzáadjuk a második meghatározót Kevésbé az előző eredményhez, és olyan bővítési sorozatot alkotunk, amely:
3. Az első sor harmadik elemével folytatjuk, vagyis r13= 3. Megismételjük a folyamatot: lereszeljük az r-t tartalmazó sort és oszlopot13=3.
Hozzáadjuk a harmadik meghatározót Kevésbé az előző eredményre, és kibővítjük a bővítési sorozatot úgy, hogy:
A mátrix meghatározójaR3×3 az 15.
