A Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely bizonyos események gyakoriságát rögzíti egy rögzített időintervallumban, ezen események átlagos előfordulási gyakorisága alapján.
Más szavakkal, a Poisson-eloszlás diszkrét valószínűségi eloszlás, amely csak az események és átlagos előfordulási gyakoriságuk ismeretében ismerhetjük meg a valószínűségüket.
Poisson-eloszlás kifejezés
Egy diszkrét X véletlen változóval azt mondjuk, hogy a frekvenciája kielégítően megközelíthető egy Poisson-eloszlással, így:
A normál eloszlástól eltérően a Poisson-eloszlás csak egy paramétertől, a mu-tól (sárga színnel jelölt) függ.
Mu beszámol egy meghatározott időintervallumban bekövetkező események várható számáról. Amikor valami "várt" dologról beszélünk, át kell irányítanunk azt, hogy az átlagra gondoljunk. Ezért a mu az események gyakoriságának átlaga.
Ennek az eloszlásnak az átlaga és a szórása egyaránt szigorúan pozitív.
Reprezentáció
Adott Poisson-eloszlás 2-es átlaggal, a sűrűség valószínűség-eloszlás a következő:
A függvény csak x egész értékein van megadva.
Nem minden Poisson-sűrűség valószínűség-eloszlás fog ugyanúgy kinézni, még akkor is, ha a mintát megtartjuk. Ha megváltoztatjuk az átlagot, vagyis azt a paramétert, amelytől a függvény függ, akkor a függvény is megváltozik.
Valószínűségi sűrűségfüggvény (pdf)
Ez a függvény annak a valószínűsége, hogy az X véletlen változó egy meghatározott x értéket vesz fel. Ez a negatív átlag exponenciája, szorozva a megfigyelésre felhozott átlaggal, és mindezt elosztva a megfigyelés faktoriáljával.
Amint jeleztük, az egyes megfigyelések valószínűségének ismeretéhez az összes megfigyelést fel kell cserélnünk a függvényben. Más szavakkal, x az n dimenzió vektora, amely tartalmazza az X véletlenszerű változó összes megfigyelését. Az átlag szintén vektor, de egy dimenziós lenne, így:
Miután megvan a számított valószínűség, a megfigyelésekkel együtt megrajzolhatjuk a valószínűségi sűrűség eloszlást.
Sztori
Ennek a disztribúciónak a neve alkotójától, Siméon-Denis Poissontól (1781-1840), francia matematikustól filozófustól származik, aki rögzített időintervallumban akarta modellezni az események gyakoriságát. Részt vett a nagy számok törvényének tökéletesítésében is.
App
A Poisson-eloszlást a működési kockázat területén alkalmazzák, hogy modellezzék azokat a helyzeteket, amelyekben működési veszteség történik. Piaci kockázat esetén a Poisson-folyamatot a pénzügyi tranzakciók közötti várakozási időkre használják nagyfrekvenciás adatbázisokban. A csődök számának modellezéséhez a hitelkockázatot is figyelembe veszik.
Példa
Feltételezzük, hogy a téli szezonban vagyunk, és december előtt szeretnénk síelni. A valószínűsége, hogy a síközpontok december előtt megnyílnak, 5%. A 100 sípálya közül szeretnénk tudni annak valószínűségét, hogy a legközelebbi síközpont december előtt megnyílik. A sípálya értékelése 6 pont.
A Poisson sűrűség valószínűségi függvény kiszámításához szükséges bemenetek az adatkészlet és a mu:
- Adatkészlet = 100 sípálya.
- Mu = 5% * 100 = 5 a síközpontok várható száma az adatkészlet alapján.
Tehát a legközelebbi állomás 14,62% -os eséllyel december előtt nyit.
Frekvencia valószínűsége
