Az elfogulatlan becslő az, amelynek matematikai várakozása egybeesik a becsülni kívánt paraméter értékével. Ha ezek nem esnek egybe, akkor a becslő állítólag elfogult.
Az elfogulatlan becslő keresésének oka az, hogy a becsülni kívánt paraméter jól becsült. Más szavakkal, ha meg akarjuk becsülni egy adott futballista meccsenkénti átlagos góljait, akkor olyan képletet kell használnunk, amely a lehető legközelebb áll a valós értékhez.
Abban az esetben, ha a becslő várakozása nem esik egybe a paraméter valódi értékével, akkor a becslőnek elfogultsága van. Az elfogultságot a becslő várakozási értéke és a valós érték közötti különbségként mérjük. Matematikailag a következőképpen lehet megjegyezni:
A fenti képletből az első és az utolsó rész egyértelmű. Vagyis a becslő várakozása megegyezik a paraméter valódi értékével. Ha ez az egyenlőség fennáll, akkor a becslő elfogulatlan. A matematikailag elvontabb középső részt a következő bekezdés ismerteti.
Az összes becslés átlaga, amelyet a becslő minden egyes mintára elvégezhet, megegyezik a paraméterrel. Például, ha 30 különböző mintánk van, akkor a normális dolog az, hogy az egyes mintákban a becslő (még ha csak kissé is) különböző értékeket kínál. Ha a 30 különböző mintában a becslő 30 értékének átlagát vesszük, akkor a becslőnek a paraméter valódi értékével megegyező értéket kell adnia.
PontbecslésA becslő torzítása
Nem mindig található elfogulatlan becslő egy bizonyos paraméter kiszámításához. Becslőnk tehát elfogult lehet. Az, hogy egy becslő torzít, még nem jelenti azt, hogy nem érvényes. Ez egyszerűen azt jelenti, hogy nem annyira megfelel, mint statisztikailag, amit szeretnénk.
Ennek ellenére, még akkor is, ha nem annyira illik, mint szeretnénk, néha nem marad más választásunk, mint egy elfogult becslőt használni. Ezért létfontosságú, hogy tudjuk az elfogultság méretét. Ha tudunk róla, felhasználhatjuk ezeket az információkat a vizsgálatunk következtetéseiben. Matematikailag az elfogultságot a következőképpen határozzuk meg:
A fenti képletben az elfogultság nem nulla érték. Ha nulla lenne, akkor a becslő elfogulatlan lenne.
Példa elfogulatlan becslőre
Az elfogulatlan becslőre példa található az átlagbecslőben. Ez a becslő a statisztikában mint mintaátlag ismert. Ha az elején leírt matematikai képletet használjuk, arra a következtetésre jutunk, hogy a mintaátlag elfogulatlan becslő. Működés előtt a következő információkat kell figyelembe vennünk:
X-et a mintaátlag feletti sávval jelöljük.
A mintaátlag képlete az n érték összege, amelyet elosztottunk az értékek számával. Ha 20 adatunk van, akkor n egyenlő 20-val. Hozzá kell adnunk a 20 adat értékét és el kell osztanunk 20-mal.
A fenti jelölés a minta átlagának várható vagy várható értékét jelenti. Köznyelven mondhatnánk, hogy a minta átlagának átlagértékeként számolják. Ezt szem előtt tartva, a megfelelő matematikai technikák alkalmazásával a következőket vonhatjuk le:
A becslő várakozása egybeesik a „mu” -val, amely a paraméter valódi értéke. Vagyis az igazi átlag. Mindent elmondtak, a matematikával kapcsolatban néhány alapfogalomra van szükség az előző fejlemény megértéséhez.
Hasonlóképpen megpróbálhatnánk ugyanezt megtenni a minta varianciájának becslőjével is. A következőkben S négyzetben található a minta variancia, a görög sigma betű (amely úgy néz ki, mint az o betű egy jobb oldali bottal) az igazi variancia.
A fenti képlettől való eltérés az első képlet második része. Ugyanis:
Arra a következtetésre jutunk, hogy a minta variancia, mint a populációs variancia becslője, elfogult. Elfogultsága megegyezik a fent jelzett értékkel. Így függ a populáció szórásától és a minta nagyságától (n). Ne feledje, hogy ha n (mintaméret) nagyon nagy lesz, az elfogultság nulla lesz.
Ha a minta nagyon nagy szokott lenni, akkor a becslő megközelíti a paraméter valódi értékét, akkor aszimptotikusan elfogulatlan becslőről beszélünk.