Analitikai geometria - mi ez, definíció és koncepció
Az analitikai geometria a geometria olyan ága, amely a geometriai testeket koordinátarendszeren keresztül tanulmányozza. Ily módon az ábrák algebrai egyenletekként fejezhetők ki.
Az analitikai geometria kétdimenziós síkban helyezi el az ábrát alkotó minden egyes pontot. Mindez két vonal alapján, az abszcissza tengely (vízszintes tengely) x) és az ordinátát (függőleges tengely Y).
Tengelyek x és Y merőlegesek. Vagyis négy 90º-os szöget (fokot) alkotnak kereszteződésükben. Ily módon egy derékszögű sík néven ismert koordinátarendszerben dolgozunk.
A sík minden pontjának a következő típusú koordinátái vannak (x,Y). Tehát a (3,8) pont az, amely a vízszintes tengely 3. pontjának és a függőleges tengely 8. pontjának összekapcsolásából származik.
Fontos megemlítendő tény, hogy René Descartes filozófust a geometria atyjának tartják. Különösen a Discourse on Method című műve megjelenése után, különösképpen annak egyik La Géométrie nevű mellékletében.
Az egyszerűség kedvéért az analitikus geometria azt javasolja, hogy egyesítsük az algebrát a geometriával, vagy pontosabban az első tudományágat alkalmazzuk a másodikra, amint az alábbiakban világosabbá válik.
Analitikai geometria példák
Az analitikai geometria alkalmazásával leírhatunk egy geometriai ábrát algebrai egyenlet segítségével.
Például egy vonal esetében meghatározhatjuk azt első fokú egyenletként, például:
y = xm + b
A bemutatott egyenletben Y a koordináta tengely koordinátája (függőleges), x az abszcissza tengely koordinátája (vízszintes), m a vonal meredeksége (dőlése) az abszcissza tengelyéhez viszonyítva, és b a vonal azon pontja, amely metszik az ordináta tengelyt.
Például ábrázolhatjuk a vonalat az alábbi egyenlettel: y = -0,5x + 3
Két vonal egyenleteinek ismeretében megtudhatjuk például, hogy párhuzamosak-e. Vagyis egyik pillanatban sem keresztezik egymást. Ebben az esetben a lejtő (m) mindkét egyenletben azonosnak kell lennie, csak a tengelyek kereszteződésének pontja különbözik egymástól x és Y.
Továbbá, ha a vonalak nem párhuzamosak, akkor mindig megtalálhatja azt a pontot, ahol keresztezik (hacsak nem egybeeső vagy azonos vonalak).
Az egyenletekkel leírható geometriai ábrák másik típusa a kör. Ebben az esetben másodfokú egyenletünk lesz, például a következő:
A fenti egyenlet magyarázatához tekintsük a középpontját a pontnak (nak nek,b) a derékszögű sík. Hasonlóképpen, a kerület bármely pontja a koordinátán található (x,Y), és az ábra sugara az r.
Ebben a sorban a parabolák formája a következő: y = ax2 + bx + c.
