A normál eloszlás egy elméleti modell, amely képes egy véletlen változó értékének kielégítő közelítésére egy ideális helyzethez.
Más szavakkal, a normális eloszlás egy véletlen változót illeszt egy függvényhez, amely az átlagtól és a szórástól függ. Vagyis a függvénynek és a véletlen változónak ugyanaz az ábrázolása lesz, de kis eltérésekkel.
A folytonos véletlen változó tetszőleges valós számot vehet fel. Például a részvény hozamok, a teszt eredményei, az IQ és a standard hibák folyamatos véletlenszerű változók.
Diszkrét véletlenszerű változó természetes értékeket vesz fel. Például az egyetem hallgatóinak száma.
A normális eloszlás az alapja más eloszlásoknak, például a Student t-eloszlásának, a khi-négyzet eloszlásának, a Fisher F-eloszlásának és más eloszlásoknak.
A normál eloszlás képlete
Adott véletlenszerű X változó alapján azt mondjuk, hogy megfigyelésének gyakorisága kielégítően megközelíthető normális eloszlással, így:
Ha az eloszlás paraméterei az átlag vagy a középérték és a szórás:
Más szavakkal azt mondjuk, hogy az X véletlen változó gyakorisága normális eloszlással ábrázolható.
Reprezentáció
Egy véletlen változó valószínűségi sűrűségfüggvénye, amely normális eloszlást követ.
Tulajdonságok
- Ez egy szimmetrikus eloszlás. Az átlag, a medián és a mód értéke egybeesik. Matematikailag,
Átlag = Medián = Mód
- Unimodális eloszlás. A gyakoribb vagy nagyobb valószínűséggel megjelenő értékek az átlag körül vannak. Más szavakkal, amikor eltávolodunk az átlagtól, az értékek megjelenésének valószínűsége és gyakorisága csökken.
Mi kell a normális eloszlás képviseletéhez?
- Véletlen változó.
- Számítsa ki az átlagot.
- Számítsa ki a szórást.
- Döntse el azt a függvényt, amelyet képviselni akarunk: valószínűségi sűrűségfüggvény vagy eloszlásfüggvény.
Elméleti példa
Feltételezzük, hogy szeretnénk tudni, hogy a teszt eredményei kielégítően közelíthetik-e a normális eloszlást.
Tudjuk, hogy 476 hallgató vesz részt ebben a tesztben, és hogy az eredmények 0 és 10 között változhatnak. Kiszámítjuk a megfigyelések átlagát és szórását (teszt eredményei).
Tehát definiáljuk az X véletlen változót, mint az egyes eredményektől függő tesztértékeket. Matematikailag,
Minden hallgató pontszámát egy táblázat rögzíti. Ily módon globális jövőképet kapunk az eredményekről és azok gyakoriságáról.
| Eredmények | Frekvencia |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| TELJES | 476 |
Miután elkészült a táblázat, bemutatjuk a vizsgálat eredményeit és a gyakoriságokat. Ha a grafikon úgy néz ki, mint az előző kép, és megfelel a tulajdonságoknak, akkor a vizsgálati eredmények változója kielégítően megközelíthető a 4,8-as átlag normális eloszlásával és a 3,09-es szórással.
A teszt eredményei megközelíthetik a normális eloszlást?
Okok annak feltételezésére, hogy a vizsgálati eredmények változója normális eloszlást követ:
- Szimmetrikus eloszlás. Vagyis ugyanannyi megfigyelés van a központi értéktől jobbra és balra egyaránt. Továbbá, hogy az átlagnak, a mediánnak és a módnak ugyanaz az értéke.
Átlag = Medián = Mód = 5
- A legtöbb gyakorisággal vagy valószínűséggel végzett megfigyelések a központi érték körül vannak. Más szavakkal, a kisebb gyakorisággal vagy valószínűséggel végzett megfigyelések messze vannak a központi értéktől.
A normál eloszlás a véletlen változót egy közelítéssel írja le, amely standard hibákat eredményez (az oszlopok felett található oszlopok). Ezek a hibák a tényleges megfigyelések (eredmények) és a sűrűségfüggvény (normális eloszlás) közötti különbség.
