A Θ paraméter elegendő statisztikája képes összegyűjteni vagy összesíteni az összes olyan információt, amelyet az X véletlen változó mintája tartalmaz.
Tudjuk, hogy a statisztika a minta valós függvénye. Vagyis a mintában szereplő valós értékeket veszi fel. Innentől kezdve, amint azt a cikkben láthattuk, amelyben a statisztika fogalma meghatározva van, biztosítanunk kell, hogy a statisztikus bizonyos tulajdonságokkal rendelkezzen. Miért kell ilyen tulajdonságokat követelni? Annak biztosítására, hogy a statisztika hasznos legyen a céljainkhoz.
A megfelelőség az egyik ilyen tulajdonság. Sokkal egyszerűbb módon azt mondjuk, hogy egy statisztika elegendő, ha a mintában szereplő összes információt felhasználja.
Hogyan lehet tudni, hogy elegendő-e egy statisztika?
Logikailag a következő kérdés merül fel: Honnan tudhatom, hogy egy T statisztika teljesíti-e az elégségesség tulajdonságát? Vagy Hogyan találhatok olyan statisztikát, amely teljesíti az elégségesség tulajdonságát A két kérdésre adott válasz két tételben található:
- Fisher-Neyman faktorizációs kritérium: Ez a kritérium kimondja, hogy adott T statisztika esetén, ha megfelel bizonyos feltételeknek, akkor elegendő statisztika lesz.
- Darmois-tétel: Ez a tétel megválaszolja a második kérdést. Vagyis lehetővé teszi számunkra, hogy elegendő statisztikát találjunk eljárások sorozatával.
Példa elegendő statisztikára
Tegyük fel, hogy a Chilében élő családok átlagos éves jövedelmét szeretnénk kiszámítani. Ehhez a következő folyamatot fogjuk követni:
- Információk gyűjtése (minta): Mivel nem tudjuk megkérdezni a Chilében lakó családok mindegyikét, hogy mennyit keresnek évente, reprezentatív mintát veszünk például 1000 családból.
- Határozza meg a vizsgált véletlen változót: A vizsgált véletlen változó a családi jövedelem. Így: X → Családi jövedelem
- Válassza ki a megfelelő statisztikát: Az átlagos jövedelem kiszámításához a megfelelő statisztika nem más, mint X várakozása. Más szavakkal, az X mintaváltozása.
- Honnan tudhatom, hogy a minta átlag statisztikája elegendő-e? Mivel már megvan a statisztika matematikai kifejezése, a Fisher-Neyman faktorfeltételt fogjuk használni. Vagy a Darmois-tétel. Ezek erre a célra létrehozott képletek.
A megfelelő számítások alkalmazása után arra a következtetésre jutunk, hogy a minta átlagstatisztika megfelel az elégségesség követelményének vagy tulajdonságának. Ennek a követelménynek a teljesítésével biztosítjuk, hogy ez a (statisztikai) függvény, amely lehetővé teszi számunkra az információk (az átlagjövedelem) szintézisét, felhasználja a mintában szereplő összes információt (az 1000 család).
Miért fontos, hogy a mintában szereplő összes információt felhasználjam?
Most, hogy tudjuk, hogy a mintaátlag elegendő statisztika, tegyünk fel egy esetet. Mi értelme lenne annak az 1000 chilei családnak az alapján kiszámítani az átlagjövedelmet, hogy csak 500 család adatait használjuk fel?
Természetesen semmi értelme nem lenne. Szeretnénk összesíteni az összes információt. Vagyis amit elégséges statisztikaként definiáltunk.