Az események egyesülése olyan művelet, amelynek eredménye az összes nem ismétlődő elemi eseményből áll, amelyek két vagy több halmazban közösek és nem közösek.
Vagyis két A és B halmaz esetén az A és B egyesülését az összes nem ismétlődő halmaz képezné, amelyekben A és B van. Intuitív módon az A és B események egyesülésének valószínűsége azt jelentené, hogy válaszolunk kérdés: Mennyi annak a valószínűsége, hogy A kijön vagy B kijön?
Az események egyesülésének szimbóluma U. Olyan módon, hogy ha két B és D esemény egyesülését szeretnénk matematikailag észrevenni, akkor ezt a következőképpen észlelnénk: B U D.
Eseményunió általánosítás
Eddig két esemény egyesülését láttuk és jeleztük. Például A U B vagy B U D. De mi van akkor, ha három, négy és akár száz eseményünk is van?
Ezt hívjuk általánosításnak, vagyis egy képletnek, amely segít észrevenni az események működésének egyesülését ezekben az esetekben. Ha 8 eseményünk van, a tíz esemény megírása helyett a következő jelölést használjuk:
Ahelyett, hogy minden eseményt A-nak, B-nek vagy bármilyen levélnek neveznénk, az Igen-t fogjuk hívni. S az esemény, az i index pedig a számot jelöli. Úgy, hogy 10 esemény példáján alkalmazzuk a következőket:
Amit tettünk, az az előző jelölés alkalmazása és fejlesztése. Most nem mindig lesz rá szükségünk. Különösen, ha nagyszámú eseményről van szó.
A disszjunkt és a nem közös események egyesülése
A diszjunkt események fogalma azt jelzi, hogy két eseménynek nincsenek közös elemei.
Ha nincsenek kapcsolatban, az eseményszövetség működése egyszerű. Csak mindkettő valószínűségét hozzá kell adnia annak megszerzéséhez, hogy az egyik vagy másik esemény bekövetkezik-e. Ha azonban az események nem szétválnak, egy kis részletet hozzá kell adni. Az ismétlődő elemeket meg kell szüntetni. Például:
Tegyük fel, hogy egy eredménytér 1 és 5 közé esik. Az események a következők:
A esemény: (1,2,4) -> 60% valószínűség = 0,6
B esemény: (1,4,5) -> 60% valószínűség = 0,6
Az A U B művelet intuitív módon az A és B eseményeinek összeadása lenne, de ha ezt megtesszük, a valószínűség 1,2 (0,6 + 0,6) lenne. És ahogy a valószínűségi axiómák jelzik, a valószínűségnek mindig 0 és 1 között kell lennie. Hogyan oldjuk meg? Kivonva az A és B esemény metszéspontját, vagyis eltávolítva az ismétlődő elemeket:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
A valószínűségekre térve:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Valójában annak a valószínűsége, hogy 1, 2, 4 vagy 5. Feltételezzük, hogy minden számnak ugyanolyan a valószínűsége, hogy 80%.
Grafikusan így nézne ki:
Event Union tulajdonságai
Az eseménycsatlakozás egyfajta matematikai művelet. Néhány művelettípus az összeadás, kivonás, szorzás is. Mindegyik tulajdonságokkal rendelkezik. Például tudjuk, hogy a 3 + 4 összeadásának eredménye pontosan megegyezik a 4 +3 összeadásának eredményével. Ezen a ponton az eseményuniónak több olyan tulajdonsága van, amelyeket érdemes tudni:
- Kommutatív: Ez azt jelenti, hogy az írás sorrendje nem változtatja meg az eredményt. Például:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Asszociációs: Ha feltételezzük, hogy három esemény van, akkor nem érdekel, hogy melyiket tegyük először, és melyiket tegyük tovább. Például:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Elosztó: Ha belevesszük a metszés típusú műveletet, akkor az elosztó tulajdonság érvényes. Csak nézze meg a következő példát:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Event Union példa
Két A és B esemény egyesítésének egyszerű példája a következő. Tegyük fel, hogy egy tökéletes kocka dobása történt. Egy szerszám, amelynek hat arca van 1-től 6-ig számozva. Úgy, hogy az eseményeket az alábbiakban definiáljuk:
NAK NEK: Ez nagyobb, mint 2. A valószínűsége (3,4,5,6) 4/6 => P (A) = 0,67
C: Öt jöjjön ki. (5) valószínűsége 1/6 => P (C) = 0,17
Mennyi az A U C valószínűsége?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Mivel P (A) és P (C) már rendelkezik vele, kiszámoljuk a P (A ∩ C) értéket
A ∩ C = (5) a P valószínűségében (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
A végeredmény:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Annak a valószínűsége, hogy nagyobb lesz, mint 2, vagy hogy 5-ös, 67%.
