A binomiális eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely leírja a sikerek számát, amikor n független kísérletet végeznek véletlen változón..
Nagyon sokféle kísérlet vagy esemény jellemezhető ezen valószínűségi eloszlás alatt. Képzeljünk el egy érmefeldobást, amelyben az esemény "fejbeütést" sikerként határozzuk meg. Ha ötször feldobjuk az érmét, és megszámoljuk az elért találatokat (fejeket), akkor valószínűségi eloszlásunk binomiális eloszlásnak felel meg.
Ezért a binomiális eloszlást olyan tesztek vagy kísérletek sorozataként értjük, amelyekben csak 2 eredményünk lehet (siker vagy kudarc), a siker véletlenszerű változónk.
A binomiális eloszlás tulajdonságai
Ahhoz, hogy véletlenszerű változó binomiális eloszlást kövessen, meg kell felelnie a következő tulajdonságoknak:
- Minden kísérletben, kísérletben vagy tesztben csak két eredmény lehetséges (siker vagy kudarc).
- A siker valószínűségének állandónak kell lennie. Ezt a p betű képviseli. Az érme megfordításának valószínűsége 0,5, és ez állandó, mivel az érme nem változik az egyes kísérletek során, és a fejek valószínűsége állandó.
- A meghibásodás valószínűségének is állandónak kell lennie. Ezt a q = 1-p betű képviseli. Fontos megjegyezni, hogy ennek az egyenletnek a segítségével p vagy q ismeretében megszerezhetjük azt, ami hiányzik.
- Az egyes kísérletekben elért eredmény független az előzőtől. Ezért, ami az egyes kísérletekben történik, nem befolyásolja a következőket.
- Az események kölcsönösen kizárják egymást, vagyis mindkettő nem fordulhat elő egyszerre. Nem lehet egyszerre férfi és nő, vagy hogy egy érme feldobásakor egyszerre jön ki a fej és a farok.
- Az események együttesen kimerítőek, vagyis a 2 közül legalább az egyiknek meg kell történnie. Ha nem vagy férfi, akkor nő vagy, és ha dobsz egy érmét, ha nem jön fel a fej, akkor biztosan farok.
- A binomiális eloszlást követő véletlen változó általában X ~ (n, p), ahol n a kísérletek vagy kísérletek számát és p a siker valószínűségét jelenti.
A binomiális eloszlás képlete
A normál eloszlás kiszámításához a képlet a következő:
Hol:
n = vizsgálatok / kísérletek száma
x = A sikerek száma
p = A siker valószínűsége
q = A meghibásodás valószínűsége (1-p)
Fontos megjegyezni, hogy a szögletes zárójelben szereplő kifejezés nem mátrix kifejezés, hanem ismétlés nélküli kombinatorikus eredmény. Ezt a következő képlettel kapjuk meg:
Az előző kifejezés felkiáltójele a faktoriális szimbólumot jelenti.
Binomiális eloszlás
Képzeljük el, hogy a világon az emberek 80% -a látta a legutóbbi futball-világbajnokság utolsó mérkőzését. Az esemény után 4 barát találkozik beszélgetni, mekkora a valószínűsége annak, hogy közülük 3-an látták a játékot?
Határozzuk meg a kísérlet változóit:
n = 4 (a teljes mintánk)
x = a sikerek száma, amely ebben az esetben megegyezik 3-mal, mivel azt a valószínűséget keressük, hogy a 4 barát közül 3 látta.
p = a siker valószínűsége (0,8)
q = a meghibásodás valószínűsége (0,2). Ezt az eredményt 1-p kivonásával kapjuk.
Miután meghatároztuk az összes változónkat, egyszerűen behelyettesítjük a képletet.
A faktoriál számlálóját 4 * 3 * 2 * 1 = 24 szorzásával kapnánk meg, és a nevezőben 3 * 2 * 1 * 1 = 6 lenne. Ezért a faktoriális eredmény 24/6 = 4 lenne .
A zárójelen kívül két szám van. Az első értéke 0,8 3 = 0,512, a második pedig 0,2 (mivel 4-3 = 1 és az 1-re emelt bármely szám megegyezik).
Ezért a végeredményünk a következő lenne: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Ha 100-zal megszorozzuk, akkor 40,96% a valószínűsége annak, hogy a 4 barát közül 3 látta a világbajnokság döntő mérkőzését.