A tetraéder négyszög, négy arccal, hat éllel és négy csúccsal. Ez egy háromdimenziós ábra, amelyet több sokszög alkot, amelyek ebben az esetben háromszögek.
A tetraéderre jellemző, hogy a poliéderek közül a legegyszerűbb, és az egyetlen, amelynek ötnél kevesebb oldala van.
Érdemes megemlíteni, hogy a tetraéder egy háromszög alapú piramis.
A tetraéder elemei
A tetraéder elemei, amelyek az alábbi ábrán vezetnek minket, a következők:
- Arcok: Ezek a tetraéder oldalai, amelyek, mint említettük, háromszögek (ABC, ADC, ADB és BDC).
- Élek: Két arc egyesülése: AB, AC, AD, BC, CD és DB.
- Csúcspontok: Ezek azok a pontok, ahol az élek találkoznak: A, B, C és D
- Dihedrális szög: Két arc egyesülésével alakul ki.
- Polyhedron szög: Ez az egyik, amelyet az egyetlen csúcsban egybeeső oldalak alkotnak.
A tetraéder területe és térfogata
A tetraéder jellemzőinek megismeréséhez kiszámíthatjuk:
- Terület: A négyszöget alkotó négy háromszög területét hozzá kell adni. Ebben az értelemben emlékeznünk kell arra, hogy egy háromszög területét úgy számoljuk ki, hogy megszorozzuk az alapot a magassággal, és elosztjuk 2-vel (A = bxh / 2)
- Hangerő: A következő képlettel számolják
A képletben b a sokszög bármely arca, h pedig az a magasság vagy szegmens, amely egyesíti b-t az ellenkező csúcsával. Ezenkívül a magasság merőleges az alapra (derékszöget képeznek, vagy 90 ° -ot mérnek).
Szabályos tetraéder
Amikor a tetraédert alkotó háromszögek egyenlő oldalú háromszögek azonosak egymással, akkor egy szabályos tetraéderrel állunk szemben. Vagyis egy szabályos sokszögről lenne szó, amelynek az arca egyforma, és mindegyik szintén szabályos sokszög.
Ezen a ponton emlékeznünk kell arra, hogy a szabályos sokszög olyan, ahol az összes oldal azonos hosszúságú, és a belső szöge is egyenlő.
Emlékezzünk vissza arra, hogy az egyenlő oldalú háromszög területe (A) Heron képletével kiszámítható, ahol a, b és c az oldalak mérései, s pedig a félperiméter, amely a kettő közötti kerület (P).
Akkor igen:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Nekünk kell:
Ezután, mivel négy háromszög van, mindegyik területét megszorozzuk 4-gyel, hogy megtaláljuk a tetraéder (AT) területét:
Másrészt, ha ki akarjuk számolni a térfogatot, meg kell találnunk a sokszög magasságát. Ehhez a következő kép fogja vezérelni:
Először kiszámoljuk az alap magasságát (h) (ebben a példában az ABC háromszöget), amely az EB szakasz. Az X szög 90º, így a Pitagorasz-tételnek teljesülnie kell, és az a-t mérő hipotenusz (BA) (ebben a tetraéderben az összes él hossza) megegyezik az egyes lábak négyzetének összegével. Az egyik láb EA, ez az AC szegmens közepe (E két oldalt egyenlő részre vágja) és az a / 2-t méri. Ezenkívül a második láb az alap magassága (h vagy EB).
Ekkor a szabályos tetraéder tulajdonságával, ahol F a háromszög közepe, az EF az EB szegmens egyharmada, vagyis a h egyharmada lesz.
Következő lépésként a tetraéder (DF) magasságának meghatározásához újra alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt, mert mivel a magasság merőleges, az Y szög megfelelő (90 ° -ot mér).
A DEF háromszöget nézve a hipotenusz DE, amely az ADC háromszög magassága, és mivel az összes oldal egyforma, azonos AB magasságú h magassággal rendelkezik. Viszont az egyik láb a tetraéder (DF) magassága, amelyet ht-nek fogunk nevezni, a másik pedig az EF szegmens, amelyet már kiszámoltunk. Ebből kifolyólag:
Végül a tetraéder (V) térfogatának meghatározásához, amint azt korábban kifejtettük, megszorozzuk az ábra (ht) magasságát az alap (A) fentebb kiszámított területével, és elosztjuk hárommal:
Tetrahedron példa
Feltéve, hogy a tetraéder szabályos, és mindkét oldala 20 méter. Mi az ábra területe (AT) és térfogata (V)?
