A véletlen változó várható értéke a matematikai algebra analóg fogalma, amely az említett változó megfigyelési halmazának számtani átlagát veszi figyelembe.
Más szavakkal, egy véletlen változó várható értéke az az érték, amely egy kísérlet sokszor történő megismétlése során a leggyakrabban jelenik meg.
Egy véletlen változó várható értékeinek tulajdonságai
A véletlenszerű változó várható értékének három olyan tulajdonsága van, amelyeket alább fejlesztünk:
1. tulajdonság
Bármely g állandó esetén ennek az állandónak a várható értékét E (g) -ben fejezzük ki, és ugyanaz a g állandó lesz. Matematikailag:
E (g) = g
Mivel g állandó, vagyis nem függ egyetlen változótól sem, értéke változatlan marad.
Példa
Mi az 1 várható értéke? Más szavakkal, milyen értéket rendelünk az 1-es számhoz?
E (1) =?
Pontosan hozzárendeljük az 1 értéket az 1 számhoz, és értéke nem változik, függetlenül attól, hogy az évek múlnak-e, vagy természeti katasztrófák következnek be. Tehát állandó változóval van dolgunk, ezért:
E (1) = 1 vagy E (g) = g
Kipróbálhatnak más számokat is.
2. tulajdonság
Bármely h és k állandó esetén a h · X + k egyenes várható értéke megegyezik a h állandóval, szorozva az X véletlen változó várakozásával, plusz a k állandóval. Matematikailag:
E (h X + k) = h E (X) + k
Nézze meg alaposan, nem emlékeztet egy nagyon híres egyenesre? Pontosan a regressziós vonal.
Ha kicseréljük:
E (hX + k) = Y
E (X) = X
k = B0
h = B1
Van:
Y = B0 + B1x
Amikor becsüljük a B együtthatókat0 , B1 , vagyis B0 , B1 , ezek ugyanazok maradnak a teljes mintánál. Tehát az 1. tulajdonságot alkalmazzuk:
E (B0) = B0
E (B1) = B1
Itt találjuk az elfogulatlanság tulajdonságát is, vagyis a becslő várható értéke megegyezik a populáció értékével.
Visszatérve az E (h · X + k) = h · E (X) + k értékre, a regressziós vonalakból levonva következtetéseket levonva fontos szem előtt tartani, hogy Y jelentése E (h · X + k). Más szavakkal azt mondanánk, hogy amikor X eggyel növekszik, Y növekszik fél h egység, mivel Y a h · X + k egyenes várható értéke.
3. tulajdonság
Ha H konstansok vektora, X pedig véletlen változók vektora, akkor a várható érték a várható értékek összegeként fejezhető ki.
H = (h1 , h2, , …, hn)
X = (X1 , X2, ,…, Xn)
Hé1x1 + h2x2 +… + Hnxn) = h1·KORÁBBI1) + h2·KORÁBBI2) +… + Hn·KORÁBBIn)
Összegekkel kifejezve:
Ez a tulajdonság nagyon hasznos a matematikai statisztika területén végzett levezetésekhez.
