A vektorok lineáris kombinációja akkor fordul elő, ha egy vektor más lineárisan független vektorok lineáris függvényeként fejezhető ki.
Más szavakkal, a vektorok lineáris kombinációja az, hogy egy vektor kifejezhető más, egymástól lineárisan független vektorok lineáris kombinációjaként.
A vektorok lineáris kombinációjának követelményei
A vektorok lineáris kombinációjának két követelménynek kell megfelelnie:
- Hogy egy vektor kifejezhető más vektorok lineáris kombinációjaként.
- Legyen ezek a többi vektor lineárisan független egymástól.
Lineáris kombináció a számításban
Az alap matematikában szoktunk lineáris kombinációkat látni anélkül, hogy észrevennénk. Például egy vonal az egyik változó kombinációja a másikhoz képest, oly módon, hogy:
De a gyökerek, logaritmusok, exponenciális függvények … már nem lineáris kombinációk, mivel az arányok nem maradnak állandóak az egész függvény esetében:
Tehát, ha vektorok lineáris kombinációjáról beszélünk, az egyenlet felépítése a következő formában lesz:
Mivel vektorokról beszélünk, és az előző egyenlet változókra vonatkozik, a vektorok kombinációjának felépítéséhez a változókat csak vektorokkal kell helyettesítenünk. Legyen a következő vektorok:
Tehát lineáris kombinációként írhatjuk őket az alábbiak szerint:
A vektorok lineárisan függetlenek egymástól.
Görög levél lambda paraméterként működik m a vonal általános egyenletében. A Lambda bármely valós szám lesz, és ha nem jelenik meg, akkor azt mondják, hogy értéke 1.
Az, hogy a vektorok lineárisan függetlenek, azt jelenti, hogy egyik vektor sem fejezhető ki a többiek lineáris kombinációjaként. Ismeretes, hogy a független vektorok alkotják a tér alapját, és a függő vektor is ehhez a térhez tartozik.
Parallelelepiped példa
Feltételezzük, hogy három vektorunk van, és lineáris kombinációként szeretnénk kifejezni őket. Azt is tudjuk, hogy minden vektor ugyanabból a csúcsból származik, és ennek a csúcsnak az abszcisszáját alkotja. A geometriai ábra párhuzamos. Mivel arról tájékoztatnak minket, hogy a geometriai ábra, amelyet ezek a vektorok alkotnak, egy paralelipedis abszcisszája, a vektorok határolják az ábra arcát.
Először tudnunk kell, hogy a vektorok lineárisan függenek-e. Ha a vektorok lineárisan függenek, akkor nem alkothatunk lineáris kombinációt belőlük.
Három vektor:
Honnan tudhatjuk, hogy a vektorok lineárisan függenek-e, ha nem adnak információt a koordinátáikról?
Nos, logika segítségével. Ha a vektorok lineárisan függnének, akkor a párhuzamos oldalú oldal összes oldala összeomlana. Más szavakkal, ugyanazok lennének.
Ezért kifejezhetünk egy új vektort w az előző vektorok lineáris kombinációjának eredményeként:
Az előző vektorok kombinációját képviselő vektor:
Grafikusan:
