A szentpétervári paradoxon Nicolaus Bernoulli által megfigyelt paradoxon, amelynek oka a szerencsejáték. Ez a paradoxon azt mondja nekünk, hogy a döntéselméletben minden fogadást elfogadunk, függetlenül azok értékétől, még akkor is, ha az említett érték azt mutatja, hogy ez nem racionális döntés.
A szentpétervári paradoxon - számunkra, hogy ezt helyesen megértsük - Nicolaus Bernoulli által a szerencsejáték megfigyelése után leírt paradoxon volt, ezért létezik ez a paradoxon.
JátékelméletEbben az értelemben a paradoxon azt mondja nekünk, hogy a megfogalmazott döntések elmélete megmutatja, hogy a racionális döntés egy fogadási játékban minden, függetlenül az egyes fogadások feltételezett összegétől. Ezt a helyzetet helyesen elemezve és az elmélet pontos figyelembevételével azonban megfigyelhetjük, hogy egyetlen racionális lény sem döntene úgy, hogy a végtelenséghez közeli pénzösszegre fogadjon, bár az elmélet azt jelzi, hogy racionális. Emiatt felmerül a paradoxon.
Kezdetben a paradoxont Nicolaus Bernoulli figyeli meg, amint az 1713. szeptember 9-én Pierre de Montmort francia arisztokrata és matematikusnak küldött levelében kiderül.
Mivel azonban Nicolaus tanulmánya nem hozott eredményt, 1715-ben unokatestvérének, Daniel Bernoulli-nak, holland származású matematikusnak és a Bázeli Egyetem rektorának mutatta be a paradoxont, aki Szentpéterváron találkozva a tudósok kiemelkedő csoportjával, majd miután éves kutatás, amely 1738-ban új mérési rendszert jelentetett meg „Új elmélet bemutatása a kockázatmérésben” című munkájában.
A Daniel által javasolt modell, ellentétben a Nicolaus által javasoltal, megalapozza azt, ami később finomítja és kiegészíti a várható hasznosság elméletét.
Szentpétervári paradox formula
A Nicolaus Bernoulli unokatestvérének és Pierre de Montmortnak javasolt készítmény a következő:
Képzeljünk el egy szerencsejátékot, amelyben a játékosnak nyilván fizetnie kell egy összeget a részvételért.
Tegyük fel, hogy a játékos farokra fogad, és egymás után dobja az érmét. A farok után a játék leáll, és a játékos $ 2 n-t kap.
Így ha farok van, akkor a játékos először 2 1-t nyer, ami $ 2. De ha ismét farok lesz, akkor 2 2 lesz, ami 4 dollár, és így tovább. Ha újra kijön, akkor 8 dollár lesz, ami 2 3-nak felel meg; míg ha negyedszer jelenik meg, a nyeremény 16 dollár lesz, ami a 2 4 reprezentáció.
Így Nicolaus kérdése a következő volt: Figyelembe véve a fent említett sorrendet és a profitot, mennyit hajlandó a játékos fizetni ezért a játékért anélkül, hogy elveszítené az ésszerűséget?
Példa a szentpétervári paradoxonra
Figyelembe véve a Nicolaus által javasolt megfogalmazást és a kétséget, amelyet a francia matematikusnak és unokatestvérének vetett fel, lássuk példaként ennek a paradoxonnak az okát, hogy megértsük, mire gondolunk.
Először is tudnunk kell, hogy a játék megkezdése előtt végtelen sok lehetséges kimenetelünk van. Nos, még akkor is, ha a valószínűsége 1/2, a farkak csak a 8. gurulásig kerülhetnek elő.
Ezért annak valószínűsége, hogy ez a kereszt megjelenik a k dobásnál:
Pk = 1 / 2k
Továbbá a nyereség 2k.
A fejlesztést folytatva az 1. tekercs első farkai 2-es erősítést mutatnak1 (2 dollár) és 1/2 valószínűsége. A 2. kísérlet farkainak nyeresége 22 (4 dollár) és 1/2 valószínűséggel2; míg ha a harmadik próbálkozásnál farok van, akkor a játékos 2 győzelmet arat3 (8 USD) és 1/2 valószínűsége3. Amint láthatjuk, egy kapcsolat kiterjed, amíg futásokat adunk hozzá.
Mielőtt folytatnánk, meg kell jegyezni, hogy a döntéselméletben a matematikai várakozásnak (EM) vagy a játék várható győzelmének nevezzük a nyeremények összegét, amely a játék minden lehetséges eredményéhez kapcsolódik, és mindegyiket súlyozzuk annak valószínűsége, hogy ezek az eredmények mindegyike bekövetkezik.
Ha figyelembe vesszük azt a megközelítést, amely ezt a paradoxont mutatja, akkor azt látjuk, hogy a 2 dollár nyerésének valószínűsége 1/2, de ezen felül a 4 nyerésének valószínűsége 1/4, míg a 8 dolláré valószínűsége 1/8. Ez addig a helyzetig, például 64 dollár megnyeréséig, ennek az esetnek a valószínűsége 1/64.
Tehát ezekkel az eredményekkel, ha kiszámítjuk a matematikai várakozást, vagy amit a játék várható győzelmének ismerünk, hozzá kell adnunk az összes lehetséges eredmény nyereményét, súlyozva azok bekövetkezésének valószínűségével, így az eredmény végtelen számot mutat nekünk érték.
Ha követjük a választás elméletét, az azt mondja nekünk, hogy bármilyen összeget meg kell fogadnunk azért az egyszerű tényért, hogy minden döntés nekünk kedvez. Az a tény, hogy ez egy paradoxon, annak az az oka, hogy ésszerűen a játékos nem fogad végtelen tétet, még akkor sem, ha az elmélet erre készteti.
Kiemelkedő paradoxon
Sokan voltak azok a matematikusok, akik megpróbálták megfejteni a Bernoulli által javasolt paradoxont, ugyanakkor sokan vannak, akik nem tudták megoldani.
Számos példa mutatja tehát, hogy a paradoxont milyen matematikusok próbálták megoldani, akik mind a játék felépítésével, mind az egyének döntéseivel foglalkoztak. A mai napig azonban még mindig nem találunk érvényes megoldást.
És ez az, hogy e paradoxon bonyolultságának elképzelése érdekében, figyelembe véve a példában szereplő választási elméletet, a számítás után lehetséges nyereményként végtelen számú érmét feltételezünk, amelyek még feltételezve, hogy ez lehetséges, összeegyeztethetetlen lenne magával a monetáris rendszerrel, mivel ez egy olyan pénz, amely a paradoxon állításával ellentétben korlátozott.
