A végtelen halmazok azok, amelyek korlátlan mennyiségű elemet tartalmaznak. Vagyis azokat, amelyek a végtelenségig terjednek.
Más szavakkal, a végtelen halmaz ellentéte a véges halmaznak, amely korlátozott vagy korlátozott számú elemet tartalmaz.
Meg kell jegyezni, hogy az a tény, hogy egy halmaz végtelen, még nem jelenti azt, hogy nem megszámolható. Ennek a pontnak a megértéséhez nézzük meg a teljes természetes számok halmazának példáját, amely végtelen, de megszámlálható, mivel lehetséges azonosítani az 1., 2., 3. stb. Elemet.
Más szempontból az M halmaz végtelen, ha nem lehet párosítani egy másik (1, 2,…, n) halmazsal, amelyet N-nek fogunk hívni. Ez utóbbi egész számok sorozata, ahol minden elem egyenlő az előző egy, plusz egység.
Formálisabban azt mondják, hogy az M halmaz és az N halmaz között nincs egy az egyben megfelelés, ez utóbbi véges.
Azt is meg kell jegyezni, hogy M és N nem egyenértékűek. Vagyis az M minden eleméhez nincs N elem.
Példák a végtelen halmazokra
Néhány példa a végtelen halmazokra a következő:
- A homokszemek mennyisége a tengerparton.
- 13-nál nagyobb páratlan egész számok.
- A vízcseppek, amelyeket a tenger tartalmaz.
- 10 szorzata.
Végtelen halmaz tulajdonságai
A végtelen halmazok tulajdonságai a következők:
- Az A és B halmazok egyesülése végtelen halmaz, mindaddig, amíg e halmazok egyike, A vagy B végtelen.
- Bármely halmaz, amelynek véghalmaza van részhalmazként, szintén végtelen halmaz.
- A végtelen halmaz hatványkészlete viszont végtelen. Ebben az értelemben emlékeznünk kell arra, hogy az M halmaz hatványkészlete magában foglalja az összes halmazt, amelyek az említett halmaz elemeivel kialakíthatók, beleértve a null halmazt vagy ∅-t is. Például, ha:
(7, 13, 58)
A beállított teljesítmény a következő lenne: (∅, (7,13), (7,58), (13,58), (7), (13), (58), (7,13,58))