Szimmetrikus mátrix - mi ez, definíció és fogalom

A szimmetrikus mátrix egy n sorrendű mátrix azonos számú sorral és oszloppal, ahol transzponált mátrixa megegyezik az eredeti mátrixszal.

Más szavakkal, a szimmetrikus mátrix négyzetmátrix, és azonos a mátrixszal, miután sorokat cserélt oszlopokra és oszlopokat sorokra.

Követelmények

Ahhoz, hogy bármely mátrix szimmetrikus mátrix legyen, meg kell felelnie a következő korlátozásoknak:

Adott egy szimmetrikus mátrix P n sorrendű,

• Lenni négyzetmátrix.

A sorok számának (n) meg kell egyeznie az oszlopok számával (m). Vagyis a mátrix sorrendjét n-nek kell adni, mivel n = m.

• Az eredeti mátrixnak meg kell egyeznie a mátrixával transzponált mátrix.

Demonstráció:

Tulajdonságok

• A szimmetrikus mátrix mellékmátrixa szintén szimmetrikus mátrix.

Demonstráció:

• Két szimmetrikus mátrix összeadása vagy kivonása újabb szimmetrikus mátrixot eredményez.

Demonstráció:

Adott két szimmetrikus mátrix P Y T 3. sorrendben kapunk egy másik szimmetrikus mátrixot S az összegből.

Miért nevezik szimmetrikus mátrixnak?

A szimmetria tulajdonságát a főátló körüli elemek adják. Mivel a négyzetmátrix egy szimmetrikus mátrix, ezért mindig ugyanannyi eleme lesz a főátló felett és alatt. Ezek az elemek szimmetrikusan megegyeznek. Vagyis a főátló tükörként hat.

A mátrix szimmetriájának és ferdeségének igazolása

Szimmetrikus mátrix

A levél d a főátló elemeit ábrázolja. A többi betű bármilyen valós számot képvisel. Láthatjuk, hogy a főátló tükörként hat: mindkét oldalon tükrözi az elemeket. Más szavakkal, amikor az átló mindkét oldalán lévő elemek szimmetrikusan egyenlőek, akkor azt mondjuk, hogy a mátrix P szimmetrikus mátrix.

Nem szimmetrikus mátrix

Mátrix x Ez nem szimmetrikus mátrix, mivel nem négyzetmátrix, és transzponált mátrixa eltér az eredeti mátrixtól. Ezenkívül nincs főátlója sem.