A szimmetrikus mátrix egy n sorrendű mátrix azonos számú sorral és oszloppal, ahol transzponált mátrixa megegyezik az eredeti mátrixszal.
Más szavakkal, a szimmetrikus mátrix négyzetmátrix, és azonos a mátrixszal, miután sorokat cserélt oszlopokra és oszlopokat sorokra.
Követelmények
Ahhoz, hogy bármely mátrix szimmetrikus mátrix legyen, meg kell felelnie a következő korlátozásoknak:
Adott egy szimmetrikus mátrix P n sorrendű,
- Lenni négyzetmátrix.
A sorok számának (n) meg kell egyeznie az oszlopok számával (m). Vagyis a mátrix sorrendjét n-nek kell adni, mivel n = m.
- Az eredeti mátrixnak meg kell egyeznie a mátrixával transzponált mátrix.
Demonstráció:
Tulajdonságok
- A szimmetrikus mátrix mellékmátrixa szintén szimmetrikus mátrix.
Demonstráció:
- Két szimmetrikus mátrix összeadása vagy kivonása újabb szimmetrikus mátrixot eredményez.
Demonstráció:
Adott két szimmetrikus mátrix P Y T 3. sorrendben kapunk egy másik szimmetrikus mátrixot S az összegből.
Miért nevezik szimmetrikus mátrixnak?
A szimmetria tulajdonságát a főátló körüli elemek adják. Mivel a négyzetmátrix egy szimmetrikus mátrix, ezért mindig ugyanannyi eleme lesz a főátló felett és alatt. Ezek az elemek szimmetrikusan megegyeznek. Vagyis a főátló tükörként hat.
A mátrix szimmetriájának és ferdeségének igazolása
Szimmetrikus mátrix
A levél d a főátló elemeit ábrázolja. A többi betű bármilyen valós számot képvisel. Láthatjuk, hogy a főátló tükörként hat: mindkét oldalon tükrözi az elemeket. Más szavakkal, amikor az átló mindkét oldalán lévő elemek szimmetrikusan egyenlőek, akkor azt mondjuk, hogy a mátrix P szimmetrikus mátrix.
Nem szimmetrikus mátrix
Mátrix x Ez nem szimmetrikus mátrix, mivel nem négyzetmátrix, és transzponált mátrixa eltér az eredeti mátrixtól. Ezenkívül nincs főátlója sem.
Identitás mátrix