A Central Limit Theorem (TCL) egy olyan statisztikai elmélet, amely kimondja, hogy a populáció kellően nagy véletlenszerű minta esetén a minta átlagának eloszlása normális eloszlást fog követni.
Továbbá a TCL kijelenti, hogy a minta méretének növekedésével a minta átlaga közelebb kerül a populáció átlagához. Ezért a TCL segítségével meghatározhatjuk egy ismert populáció mintaátlagának megoszlását ismert varianciával. Tehát az eloszlás normális eloszlást fog követni, ha a minta mérete elég nagy.
A központi határtétel fő tulajdonságai
A központi határtétel nagyon hasznos tulajdonságokkal rendelkezik a statisztikai és a valószínűségi térben. A legfontosabbak:
- Ha a minta mérete elég nagy, a minta átlagának eloszlása megközelítőleg normális eloszlást követ. A TCL akkor tekint egy mintát nagynak, ha mérete nagyobb, mint 30. Ezért, ha a minta nagyobb, mint 30, a minta átlagának eloszlási függvénye közel lesz a normálhoz. És ez igaz, függetlenül az elosztás formájától, amellyel dolgozunk.
- A populációs átlag és a minta átlaga megegyezik. Vagyis az összes minta átlagának eloszlásának átlaga megegyezik a teljes populáció átlagával.
- A minta átlag eloszlásának szórása σ² / n lesz. Ami a sokaság varianciája osztva a minta nagyságával.
Rendkívül hasznos, hogy a minta eloszlása hasonlít a normálisra. Mivel a normál eloszlást nagyon könnyű alkalmazni a hipotézis tesztek elvégzésére és a konfidencia intervallumok felépítésére. A statisztikákban meglehetősen fontos, hogy az eloszlás normális, mivel sok statisztika ilyen típusú elosztást igényel. Ezenkívül a TCL lehetővé teszi számunkra, hogy következtetéseket vonjunk le a populáció átlagáról a minta átlagán keresztül. És ez nagyon hasznos, amikor eszközhiány miatt nem tudunk összegyűjteni adatokat egy teljes népességtől.
Példa a központi határ tételre
Képzeljük el, hogy az S&P 500 index történelmi átlaghozamát szeretnénk elemezni, amiben tudjuk, hogy mintegy 500 vállalat van benne. De nincs elegendő információ az index 500 vállalatának elemzéséhez. Ebben az esetben az S&P 500 átlagos jövedelmezősége a népesség átlagának felelne meg.
Most, a TCL nyomán, mintát vehetünk az 500 vállalatból az elemzés elvégzéséhez. Az egyetlen korlátozásunk az, hogy a mintában több mint 30 vállalatnak kell szerepelnie a tétel teljesítéséhez. Tehát képzeljük el, hogy véletlenszerűen kiválasztunk 50 vállalatot az indexből, és többször megismételjük a folyamatot. A példában követendő lépések a következők lennének:
- Körülbelül 50 vállalat mintáját választjuk és megkapjuk a teljes minta átlagos jövedelmezőségét.
- Folyamatosan 50 vállalatot választunk, és elérjük az átlagos jövedelmezőséget.
- Az összes kiválasztott minta összes átlagos hozamának eloszlása megközelíti a normális eloszlást.
- Az összes kiválasztott minta átlagos hozama megközelíti a teljes index átlagos hozamát. Amint azt a Központi Limit Tétel mutatja.
Ezért a minta átlagos hozamából következtetve megközelíthetjük az index átlagos hozamát.