A kurtosis egy statisztikai mérőszám, amely meghatározza a frekvenciaeloszlás központi zónája körüli változó értékeinek koncentrációját. Célzási intézkedésként is ismert.
Ha véletlen változót mérünk, általában a legmagasabb gyakoriságú eredmények az eloszlás átlaga körül vannak. Képzeljük el a tanulók magasságát egy osztályban. Ha az osztály átlagos magassága 1,72 cm, akkor a legnormálisabb, hogy a többi tanuló magassága ezen érték körül van (bizonyos fokú változékonysággal, de anélkül, hogy túl nagy lenne). Ha ez megtörténik, akkor a véletlen változó eloszlását tekintjük normál eloszlásúnak. De a mérhető változók végtelenségét figyelembe véve ez nem mindig így van.
Vannak olyan változók, amelyek nagyobb koncentrációjú (kisebb diszperziós) értékeket mutatnak az átlaguk körül, mások pedig éppen ellenkezőleg, alacsonyabb koncentrációval (nagyobb diszperzióval) mutatják az értékeiket a központi értékük körül. Ezért a kurtosis arról tájékoztat minket, hogy az eloszlás mennyire hegyes (magasabb koncentráció) vagy lapított (alacsonyabb koncentráció).
A központi tendencia mértékeiKumulatív gyakoriságA kurtosis típusai
A kurtosis mértékétől függően háromféle eloszlás létezik:
1. Leptokurtic: Az átlaguk körül nagy az értékkoncentráció (g2>3)
2. Mesocúrtic: Az átlaguk körül normális értékkoncentráció van (g2=3).
3. Platicúrtica: Az értékek alacsony koncentrációja az átlaguk körül van (g2<3).
Kurtosis mérések az adatok szerint
Az adatok csoportosításától függetlenül egy vagy másik képletet használunk.
Csoportosítatlan adatok:
A frekvenciatáblákba csoportosított adatok:
Adatok intervallumokban csoportosítva:
Példa a kurtosis kiszámítására csoportosítatlan adatokra
Tegyük fel, hogy a következő eloszlás kurtosisát akarjuk kiszámítani:
8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.
Először kiszámoljuk a számtani átlagot (µ), amely 7,69 lenne.
Ezután kiszámoljuk a szórást, amely 2,43 lenne.
Miután ezeket az adatokat megkapta és a számítás megkönnyítése érdekében, táblázat készíthető a számláló részének kiszámításához (az elosztás negyedik momentuma). Az első számításhoz ez a következő lenne: (Xi-µ) 4 = (8-7,69) 4 = 0,009.
| Adat | (Xi-µ) 4 |
|---|---|
| 8 | 0,0090 |
| 5 | 52,5411 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 12 | 344,3330 |
| 7 | 0,2297 |
| 2 | 1049,9134 |
| 6 | 8,2020 |
| 8 | 0,0090 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 7 | 0,2297 |
| 7 | 0,2297 |
| N = 13 | ∑ = 1.518,27 |
Miután elkészítettük ezt a táblázatot, egyszerűen alkalmaznunk kell a korábban a kurtosisnak kitett képletet.
g2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34
Ebben az esetben mivel g2 nagyobb, mint 3, az eloszlás leptokurtikus lenne, nagyobb pontot mutatva, mint a normális eloszlás.
Túlzott kurtosis
Egyes kézikönyvekben a kurtosist túlzott kurtosisként mutatják be. Ebben az esetben közvetlenül összehasonlítjuk a normál eloszláséval. Mivel a normális eloszlás 3-as kurtosissal rendelkezik, a felesleg megszerzéséhez csak 3-at kellene levonnunk az eredményünkből.
Túlzott kurtosis = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.
Az eredmény értelmezése ebben az esetben a következő lenne:
g2-3> 0 -> leptokurtikus eloszlás.
g2-3 = 0 -> mezokortikus (vagy normális) eloszlás.
g2-3 platicúrtic eloszlás.
Leíró statisztika