Fraktálgeometria - mi ez, meghatározása és fogalma

A fraktálgeometria a geometria azon ága, amely a fraktálokat tanulmányozza. Ezek összetett objektumok, olyan szerkezettel, amely megismétlődik, amikor különböző léptékben figyeljük meg.

Más szavakkal, a fraktálok olyan részekből állnak, amelyek hasonlóak az egészhez és szabálytalan szerkezetűek. Gondoljunk csak egy brokkoli fejre, amelyet felosztva több kisebb brokkolira osztjuk.

A fraktálgeometria abból adódott, hogy jobban közelíteni kell a valósághoz, mivel a síkgeometria, valamint az űrkutatási ábrák és testek geometriája nagyon nehezen található meg a természetben.

Vegye figyelembe, hogy a hegyek nem kúpok, és még Egyiptom piramisainak is, ha alaposan megnézzük őket, bizonyos szabálytalanságok vannak a felszínükön. Ezeket a tökéletlenségeket az érdesség minőségével nevezzük, és ez egy olyan jellemző, amely fraktálgeometriát ad hozzá azokhoz az objektumokhoz, amelyeknek már nemcsak kerülete, területe és térfogata van.

A fraktálgeometria eredete

A fraktálgeometria eredete Benoit Mandelbrot matematikus, valamint legnagyobb irodalmi munkája: 1982-ben megjelent "A természet fraktálgeometriája".

A fraktál szó a latin "fractus" szóból származik, ami törött vagy törött jelentése, és Mandelbrot alkotta meg 1975-ben.

Érdemes megemlíteni, hogy bár Mandelbrot formalizálta a fraktál-közgazdaságtan tanulmányát, nem ő vette észre először a fraktálok létét a természetben. Például, ha megnézzük a jól ismert japán festő, Katsushika Hokusai munkáját, látni fogjuk, hogy ezt a koncepciót alkalmazzák (és maga Mandelbrot is megemlítette egy interjúban). Például a "The Great Wave" című festményen megfigyelhetjük, hogy a hullám belsejében hogyan vannak más kisebb hullámok.

A fraktál jellemzői

A fraktál főbb jellemzői a következők:

• Önhasonlóság: Arra utal, amit már korábban említettünk. Ha a fraktál egy részét nagyobb léptékben (közelebbről) nézzük, akkor ugyanúgy fog kinézni, mint az egész objektum. Vagyis a rész hasonló az egészhez, bár ez nem mindig igaz. Képzeljünk el például egy sok kis rombuszból álló rombust. Bár ezeknek a rombuszoknak a mérete kissé változik, fraktál lenne.
• A fraktál dimenzió nem egyenlő a topológiai dimenzióval: A topológiai dimenzió magyarázatához képzeljük el, hogy van egy rácsokra osztott síkunk, mint egy háló. Tehát húzok egy vonalat, amely 2 rácson megy keresztül. Ha az összes hálós rácsot ketté osztanám, akkor a vonal 4 rácson haladna át. Vagyis meg kell szorozni 2-vel, ami megegyezik az 1-re (2 = 2¹), amely a redundanciát érve a vonal méreteinek száma. Most, ha van sokszögünk, kétdimenziós alakunk, valami hasonló történik. Például, ha van négyzetünk, amely négy rácsot ölel át, és ismét alkalmazzuk a 2-es redukciós tényezőt, akkor a négyzet 16 rácsot ölel át. Vagyis a (4) rácsok számát megszorozzuk 4-gyel, ami 2-t 2-re emel (2 = 2²), a kitevő a négyzetek dimenzióinak száma. A fentiek azonban nem igazak a fraktáloknál.
• Soha nem különböztethetők meg: Ez matematikai értelemben azt jelenti, hogy az ábrázolt függvény deriváltja nem számítható. Vizuális értelemben azt jelenti, hogy a grafikon nem folytonos, hanem csúcsokkal rendelkezik, ezért nem lehet levezetni.

Fraktálgeometria alkalmazása

A fraktál geometria különféle területeken alkalmazható. Például 1940-ben Lewis Fry Richardson megfigyelte, hogy az ország és az ország közötti különböző határok a mérési skálától függően változnak. Vagyis ha megmérünk egy földrajzi kontúrt, akkor az eredmény a használt vonalzó hosszától függ. Ez referenciaként szolgált Mandelbrot számára a Science folyóiratban megjelent 1967-es cikkében: "Meddig van Nagy-Britannia partja?"

Megmagyarázható, ha figyelembe vesszük, hogy a földrajzi területek fraktálok, és mivel nagyobb mértékben látjuk őket, több szabálytalanságot is tapasztalunk.

A fraktálgeometria másik alkalmazása a szeizmikus mozgások és a tőzsdei mozgások elemzése.

Ezenkívül el kell ismernünk, hogy a fraktálok inspirációként szolgáltak az olyan művészek számára, mint a fent említett Hokusa, és van Jackson Pollock esetünk is.