A kovariancia az az érték, amely azt tükrözi, hogy két véletlen változó együttesen mennyire változik az átlaguk szempontjából.
Ez lehetővé teszi számunkra, hogy megtudjuk, hogyan viselkedik egy változó annak alapján, amit egy másik változó tesz. Vagyis amikor Y felemelkedik, hogyan viselkedik Y? Így a kovariancia a következő értékeket veheti fel:
A kovariancia (X, Y) kevesebb, mint nulla, ha az „X” felfelé, az „Y” pedig csökken. Negatív kapcsolat van.
A kovariancia (X, Y) nagyobb, mint nulla, ha "X" emelkedik, és "Y" emelkedik. Pozitív kapcsolat van.
A kovariancia (X, Y) nulla, ha nincs kapcsolat az "X" és az "Y" változók között.
A kovariancia kiszámítása
A kovariancia képletet a következőképpen fejezzük ki:
Ahol az y akcentussal az Y változó átlaga, az x pedig az akcentussal az X változó átlaga. „I” a megfigyelés helyzete és „n” a megfigyelések teljes száma.
Alternatív megoldásként, ha az abszolút frekvenciák nem egységesek (vagyis az i, j párokat legalább egyszer megismétlik), az alkalmazandó képlet a következő:
A kovariancia tulajdonságai
A vele való munka során figyelembe kell venni azokat a tulajdonságokat, amelyek vannak, és amelyek a kovariancia meghatározásából következnek:
- Cov (X, b) = 0, ahol b ebben az esetben állandó.
- Cov (X, X) = Var (X), vagyis egy változó kovarianciája és önmagában megegyezik a változó varianciájával.
- Cov (X, Y) = Cov (Y, X) a kovariancia megegyezik, függetlenül attól, hogy milyen sorrendben tesszük őket.
- Cov (bX, cY) = c · b · Cov (X, Y) ahol b és c két állandó. Két változó kovarianciája, megszorozva bármely két konstanssal, megegyezik a két változó kovarianciájával, szorozva az állandók szorzatával.
- Cov (b + X, c + Y) = Cov (X, Y) tetszőleges két állandó hozzáadása minden változóhoz nem befolyásolja a kovarianciát.
- Cov (X, Y) = E (X · Y) - E (X) · E (Y) vagy ami ugyanaz, a kovariancia megegyezik a két változó szorzatának elvárásával, levonva a két elvárás szorzatát külön-külön.
Az előző tulajdonságok kibővítése, abban az esetben, ha két változó független. Vagyis nincs statisztikai kapcsolatuk, igaz, hogy:
E (X · Y) = E (X) · E (Y)
Más szavakkal, két változó szorzatának elvárása megegyezik az említett változók két külön elvárásának szorzatával.
RangPélda a kovarianciára
Tegyük fel, hogy X és Y esetében a következő adatok állnak rendelkezésünkre.
Hogyan értelmezzük ezt az eredményt?
Ez a 4 azt mondja nekünk, hogy nagyobb, mint nulla, hogy ez a két változó pozitív kapcsolatban van. A két változó közötti korrigált kapcsolat ismeretéhez ki kell számolnunk a lineáris korrelációt. Két különböző változójú kovariancia nem összehasonlítható, mivel a kovariancia értéke abszolút érték, amely a változók mértékegységétől függ.
Lineáris korrelációs együtthatóMatematikai remény
