Bayes-tételt használnak egy esemény valószínűségének kiszámításához, előre megadva az eseményről az információt.
Kiszámíthatjuk az A esemény valószínűségét, tudván azt is, hogy A teljesít egy bizonyos jellemzőt, amely meghatározza annak valószínűségét. Bayes-tétel a valószínűséget fordítva érti a teljes valószínűség-tételhez képest. A teljes valószínűségi tétel következtetést von le egy B eseményre az A események eredményeiből. A maga részéről Bayes kiszámítja az A valószínűségét B-től.
Bayes tételét széles körben megkérdőjelezték. Ami elsősorban rossz alkalmazásának köszönhető. Mivel mindaddig, amíg a disszjunkt és a kimerítő események feltételezései teljesülnek, a tétel teljesen érvényes.
Bayes-tétel képlete
A Bayes által az ilyen típusú események által meghatározott valószínűség kiszámításához képletre van szükségünk. A képlet matematikailag a következő:
Ahol B az az esemény, amelyről korábbi információkkal rendelkezünk, és A (n) a különböző feltételes események. A számláló részében megvan a feltételes valószínűség, az alsó részben pedig a teljes valószínűség. Mindenesetre, bár a képlet kissé elvontnak tűnik, nagyon egyszerű. Ennek bemutatására használunk egy példát, ahol A (1), A (2) és A (3) helyett közvetlenül A, B és C-t használunk.
Bayes-tétel példa
Egy vállalatnak van egy gyára az Egyesült Államokban, amelynek három gépe van, A, B és C, amelyek tartályokat gyártanak vizes palackokhoz. Az A gépről ismert, hogy a teljes mennyiség 40% -át, a B gép 30% -ot, a C gép pedig 30% -ot állítja elő. Minden gépről ismert, hogy hibás csomagolást is gyárt. Olyan módon, hogy az A gép a teljes termelés hibás csomagjainak 2% -át, a B gép 3% -át, a C gép pedig 5% -át állítja elő. Ennek ellenére két kérdés merül fel:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Ha egy tartályt a vállalat gyára gyártott az Egyesült Államokban, mekkora annak a valószínűsége, hogy hibás?
A teljes valószínűség kiszámításra kerül. Mivel a különböző eseményekből kiszámoljuk annak valószínűségét, hogy hibás.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Százalékban kifejezve azt mondanánk, hogy annak a valószínűsége, hogy a vállalat amerikai gyárában gyártott tartály hibás, 3,2%.
2. Folytatva az előző kérdést, ha egy tartályt beszereztek és hibás, akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy az A gép, a B gép és a C gép gyártotta?
Itt Bayes-tételt használjuk. Előzetes információkkal rendelkezünk, vagyis tudjuk, hogy a csomagolás hibás. Természetesen, tudván, hogy hibás, szeretnénk tudni, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy az egyik gép gyártotta.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Annak ismeretében, hogy egy konténer hibás, annak valószínűsége, hogy azt az A gép gyártotta, 25%, hogy a B gép gyártotta 28%, és hogy a C gép gyártotta: 47%.