A Bernoulli-eloszlás egy elméleti modell, amelyet egy diszkrét véletlen változó képviseletére használnak, amely csak két, egymást kizáró eredménnyel zárulhat.
Ajánlott cikkek: mintaterület, Bernoulli-eloszlás és Laplace-törvény.
Bernoulli példa
Feltételezzük, hogy nagyon rajongunk egy versenyzőért egy olyan kerékpáros versenyen, amelyen csak két versenyző versenyez. Fogadni akarunk, hogy a bróker nyer.
Tehát ha nyersz, akkor "siker" eredmény, és ha elveszíted, akkor "sikertelen" eredmény. Vázlatosan:
Ezt a példát kettős esetként kezeltük. Vagyis csak két lehetséges eredmény létezik (a helyzet egyszerűsítése érdekében). Az elméleti könyvekben találunk egy tipikus példát egy nem becsapott érme dobálására, amely fej vagy farok megszerzéséből áll. Mivel nincs több lehetséges kimenetel, a p paraméter megszerzése elemi értékűvé válik.
Bróker példánkban úgy tekinthettük volna, hogy "sikertelennek" tekintjük az első helytől eltérő pozíció megszerzését is. Ekkor a p paraméter megváltozik, és az lesz, hogy hányszor oszthatja el a bróker az összes pozíció számával. Vázlatosan:
Itt a p paraméter elsőre nem tűnik túl nyilvánvalónak, de csak Laplace törvényének alkalmazásáról van szó.
Feltételezzük, hogy csak 10 pozíció van, ahol a futó csak egyet kaphat a versenyen. Azután,
Gyakorlat
Számítsa ki a futók eloszlásának függvényét egy 10 futó versenyben.
Bernoulli eloszlásfüggvény
- Megközelítés.
Meghatározzuk azt a két értéket, amelyet egy Bernoulli-eloszlást követő véletlen változó vehet fel.
Z = 1, ha a futó megnyeri a versenyt = 1. hely = SIKER.
Z = 0, ha a futó elveszíti a versenyt = nem 1. hely = NEM SIKERES.
- A valószínűségek hozzárendelése és kiszámítása.
Miután meghatároztuk a Z értékeket, hozzárendeljük a kísérlet eredményének valószínűségét:
A példa fentebb már kiszámoltuk a valószínűségeket Laplace törvényének felhasználásával. Ennek eredményeként p = 1/10 és (1-p) = 0,9.
- Az eloszlásfüggvény kiszámítása.
Most csak az előző változókat kell helyettesítenünk az eloszlásfüggvény képletében.
Láthatjuk, hogy az előző kifejezések is így fejezhetők ki:
Látjuk, hogy így vagy úgy, a siker valószínűsége, vagyis annak valószínűsége, hogy a futó megnyeri a versenyt, mindig p = 1/10 lesz, és a sikertelenség valószínűsége, vagyis a veszteség valószínűsége. a verseny is mindig (1-p) = 9/10 lesz.
Tehát a futó p = 0,1 valószínűséggel követi a Bernoulli-eloszlást:
