A sajátvektorok olyan vektorok, amelyeket egy sajátérték szoroz meg egy mátrix lineáris transzformációiban. A sajátértékek olyan konstansok, amelyek megsokszorozzák a sajátvektorokat egy mátrix lineáris transzformációiban.
Más szavakkal, a sajátvektorok az eredeti mátrixból származó információt lefordítják az értékek és egy konstans szorzatába. A sajátértékek ez az állandó érték, amely megsokszorozza a sajátvektorokat és részt vesz az eredeti mátrix lineáris transzformációjában.
Bár neve spanyolul nagyon leíró, angolul a sajátvektorokat hívják sajátvektorok és a sajátértékek, sajátértékek.
Ajánlott cikkek: mátrix tipológiák, inverz mátrix, egy mátrix meghatározója.
Saját vektorok
A sajátvektorok olyan elemek halmaza, amelyek bármely konstans szorzásával egyenértékűek az eredeti mátrix és az elemkészletek szorzatával.
Matematikailag sajátvektorV= (v1,…, Vn) négyzetmátrixQ bármely vektorV amely bármely konstans esetében kielégíti a következő kifejezésth:
QV = hV
Saját értékek
Az állandó h az a sajátérték, amely a sajátvektorhoz tartozik V.
A sajátértékek azok a valódi gyökerek (gyökerek, amelyeknek valós számai vannak megoldásként), amelyeket a jellegzetes egyenleten keresztül találunk meg.
A sajátértékek jellemzői
- Minden sajátértéknek végtelen sajátvektora van, mivel vannak végtelen valós számok, amelyek az egyes sajátvektorok részei lehetnek.
- Ezek skalárok, lehetnek komplex számok (nem valósak) és azonosak (több, mint egyforma sajátérték).
- Annyi sajátérték van, ahány sor (m) vagy oszlopok (n) rendelkezik az eredeti mátrixszal.
Vektorok és sajátértékek
A vektorok és a sajátértékek között lineáris függőségi viszony van, mivel a sajátértékek megsokszorozzák a sajátvektorokat.
Matematikailag
Ha V a mátrix sajátvektoraZ Y h a mátrix sajátértéke Z, azutánhV egy lineáris kombináció a vektorok és a sajátértékek között.
Jellemző funkció
A jellegzetes függvényt egy mátrix sajátértékeinek megkeresésére használjákZ négyzet.
Matematikailag
(Z - hl) V = 0
Hol ZYh a fentiekben meghatározottak ésén az identitásmátrix.
Feltételek
A mátrix vektorainak és sajátértékeinek megtalálásához meg kell felelnie:
- Mátrix Z négyzet: a sorok száma (m) megegyezik az oszlopok számával (n).
- Mátrix Z igazi. A pénzügyekben használt legtöbb mátrix valódi gyökerekkel rendelkezik. Mi az előnye a valódi gyökerek használatának? Nos, a mátrix sajátértékei soha nem lesznek összetett számok, és ez, barátok, sokat megoldja az életünket.
- Mátrix (Z- Szia) nem invertálható: determináns = 0. Ez a feltétel segít abban, hogy a nulla kivételével mindig megtaláljunk sajátvektorokat. Ha 0-val egyenlő sajátvektorokat találunk, akkor az értékek és a sajátvektorok közötti szorzás nulla lesz.
Gyakorlati példa
Feltételezzük, hogy meg akarjuk találni az a vektorait és sajátértékeitZ 2 × 2 dimenziós mátrix:
1. Helyettesítjük a mátrixot Z Yén a karakterisztikus egyenletben:
2. Meghatározzuk a tényezőket:
3. Úgy szaporítjuk az elemeket, mintha a mátrix determinánsát keresnénk.
4. Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldása h = 2 és h = 5. Két sajátérték, mert a mátrix sorainak vagy oszlopainak száma Z a 2. Tehát megtaláltuk a mátrix sajátértékeit Z amelyek viszont 0-t tesznek a determinánssá.
5. A sajátvektorok megtalálásához meg kell oldanunk:
6. Például (v1, v2) = (1,1) h = 2 és (v1, v2) = (- 1,2) h = 5 esetén:
