Az exponenciális függvény az alapja a folyamatos összetételnek, amely annak a következménye, hogy végtelenül növekszik (amikor a p a végtelenbe hajlik) az összetett összetételű érdeklődés számításának gyakoriságát.
Más szavakkal, az exponenciális függvény egy olyan összetett összetétel, ahol a kamatszámítások közötti időtartamok végtelenül kicsiek (nagyon kicsiek).
Az exponenciális függvény képlete:
A folyamatos összetételezést kifejezhetjük
Ésszerű hasonlóságok a folyamatos nagybetűs írás és az exponenciális függvény között, igaz?
Meghatározzuk a folyamatos kapitalizáció változóit:
- Ct + 1: tőke a t + 1 időpontban (később).
- Ct: tőke pillanatban (aktuális).
- ént: kamatláb a t időpontban.
- p: az összetétel gyakorisága vagy periodicitása.
- t: idő.
Alkalmazások
A pénzügyekben gyakran találjuk az exponenciális függvényt a jövedelem folyamatos tőkésítésének képletében és egyes ökonometriai regressziókban.
A közgazdaságtanban azért nem annyira népszerű, mert a legtöbb mikroökonómiai és makroökonómiai modell csökkenő marginális megtérülést feltételez a termelési tényezőkről. Következésképpen azt feltételezik, hogy a tényezők logaritmikus hozamokat követnek, ezért az exponenciális függvénnyel ellentétben térnek vissza.
Exponenciális függvény példa
Feltételezzük, hogy amerikai befektető vagyunk, aki sípályát akar építeni a venezuelai Pico Bolívarban. A kezdeti befektetés 100 millió dollár 100% -os éves kamatláb mellett. Ennek a befektetőnek elegendő tárgyalási képessége van a befektetése kamatának kiszámításának gyakoriságához.
Milyen alternatívát választ az amerikai befektető?
A kérdés megválaszolásához időben meg kell számolnunk a tőkét t + 1 (Ct + 1), amelyet a befektető megkap.
Rendelkezésre álló információk:
Ct: 100 millió USD
ént: 100%
t: 1 (éves)
Ct + 1: ?
| Alternatív | NAK NEK | B | C | D | ÉS | F |
| Periodicitás | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Helyettesítjük a két képletben található információt (exp. Függvény és folyamatos nagybetűs írás)
Az adatokat az MM elkerülésével kezeljük.
Osztjuk (Ct + 1) 100-ra az exponenciális függvényben a tőke hatásának kiküszöbölésére. Ily módon két vesszővel haladunk előre a vesszővel. Következésképpen ez a hatás a következő eredményoszlopokban látható.
Eredmények:
| Képlet | Folyamatos összetétel | Exponenciális függvény |
| Periodicitás (p) vagy (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Amikor n vagy p végtelenbe hajlik, ebben az esetben 10 000 000-től, láthatjuk, hogy az értékek egy adott számra konvergálnak. Folyamatos összetétel esetén 271,8281, exponenciális függvény esetén pedig 2,718281. A két sorozat összefog és.
A gyakorlatra adott válasz megoldódott
Tehát milyen alternatívát választ az amerikai befektető, ha számos időszakosság közül a tőke t + 1 (Ct + 1) standok egy adott értéken?
- Ha ez a befektető a tőkét diszkrét változóként kezeli, akkor a D alternatívát választja. Mivel a C alternatíva közül a tőke t + 1 (Ct + 1) konvergál 271 millió dollárra.
- Ha ez a befektető a tőkét folyamatos változóként kezeli, akkor több periodicitással választja az alternatívát. Ebben az esetben az F. alternatíva. Még akkor is, ha végül konvergál egy értékhez, a befektető figyelembe veszi az összes tizedest.
Ez a konvergencia azt a tőkét jelenti, amely t + 1 (Ct + 1), amelyet a folyamatos összetett képlet vagy az exponenciális függvény alapján számoltunk ki, a csökkenő marginális hozamokat követi. Más szavakkal: (C.t + 1) logaritmikus függvényként fejezhető ki.
Vázlatosan:
- Periodicitás = exponenciális függvény.
- Tőke a t + 1 (Ct + 1) = logaritmikus függvény.
Grafikus ábrázolás
A grafikonon láthatja, hogy a végtelenül folyamatos exponenciális függvény sokkal gyorsabban növekszik, mint a korlátozott folyamatos nagybetűs írás. Ha folyamatos kapitalizációról beszélünk, akkor egyfajta összetett kapitalizációra hivatkozunk, de nagyobb periodicitással, mivel a gyakorlatban lehetetlen végtelenül nagybetűket írni. Úgy értem, nem tudjuk kihasználni a másodperceket.