A funkcionális egyenletek azok, amelyeknek ismeretlen másik funkciójuk van. Olyan függvény, amely összekapcsolható algebrai művelettel, például összeadás, kivonás, osztás, szorzás, teljesítmény vagy gyök.
Funkcionális egyenletek is definiálhatók olyanokként, amelyek felbontása szempontjából nem könnyen redukálhatók algebrai függvényre, f (x) = 0 típusúak.
A funkcionális egyenleteket azért jellemezzük, mert nincs egyetlen megoldás a megoldásra. Ezenkívül a szóban forgó változó különböző értékeket vehet fel (példákkal látjuk).
Példák funkcionális egyenletekre
Néhány példa a funkcionális egyenletekre:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ és2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
Az előzőekhez hasonló esetekben hozzáadható például, hogy x a valós számok halmazához tartozik, vagyis x ∈ R (nulla kizárható).
Példák funkcionális egyenletekre
Lássunk néhány példát a megoldott funkcionális egyenletekre:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Tehát ha x-et 1 / 2x-re cserélek:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Most nézzünk meg egy másik példát egy kicsit nehezebben, de ahol hasonló módon folytatjuk:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
Ebben az esetben először megoldjuk f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Most helyettesítem x-et 5-x-re az 1. egyenletben:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2f. (5-x) -f (x) = 15-3x
Emlékezünk arra, hogy f (5-x) a 2. egyenletben található:
(25-10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchy funkcionális egyenlete
A Cauchy funkcionális funkció az egyik legalapvetőbb a maga nemében. Ennek az egyenletnek a következő formája van:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Feltételezve, hogy x és y a racionális számok halmazában vannak, ennek az egyenletnek a megoldása azt mondja nekünk, hogy f (x) = cx, ahol c bármely állandó, és ugyanez történik f (y) esetén is.