A véges halmazok azok, amelyeknek a kardinalitása vagy a benne lévő elemek száma megegyezik egy természetes számmal.
Más szóval, a véges halmaz olyan, amelynek számos eleme megszámolható. A végtelen halmaz ellentéte, ahol az elemek megszámlálhatatlanok.
Formálisabb módja annak, hogy kifejezzük, hogy egy halmaz véges, hogy annak a halmaznak az elemei, amelyeket M-nek fogunk hívni, párosulhatnak az (1, 2,…, n) halmaz elemeivel, amelyeket N-nek fogunk hívni. Ez az egész számok sorozata, ahol minden elem megegyezik az előzővel, plusz az egységgel.
Így M és N elemei egyesével párosíthatók (ez az egy az egynek megfelelő levelezés néven ismert) anélkül, hogy a két halmaz bármely elemét elhagynák.
Azt is mondják, hogy M és N ekvipotensek, vagyis M minden elemére van egy N elem.
Ezenkívül az n szám (az N halmaz legnagyobb eleme) egybeesik az M elemeinek számával, ahol n az N kardinális, a kardinalitás vagy a hatvány, és a jelölése a kártya (N), | N | vagy #N.
Véges példák
Néhány példa a véges halmazokra:
- 13-nál nagyobb és 29-nél kisebb páratlan egész számok: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- A Föld óceánjai: Atlanti-óceán, Csendes-óceán, Indiai-sarkvidék, Antarktisz
- A tanterembe tartozó húsz diák listája.
A véges halmazok tulajdonságai
A véges halmazok fő tulajdonságai közé tartoznak azok, amelyek alább vannak kitéve:
- Két vagy több véges halmaz egyesítése véges halmazt eredményez.
- A véges halmaz és egy vagy több halmaz metszéspontja (a közös elemek) véges.
- A véges halmaz részhalmaza is véges.
- Az M véges halmaz C részhalmazára jellemző, hogy kisebb az elemszám, mint az M. Vagyis igaz, hogy: Ha C C M és | M | = n, akkor | C | <n (A symbol szimbólum azt jelenti, hogy C az M megfelelő részhalmaza. Vagyis a C összes eleme benne van az M-ben, de van legalább egy olyan M elem, amely nincs a C-ben).
- Az M véges halmaz hatványkészlete, amely magában foglalja az M halmaz elemeivel kialakítható összes részhalmazt (beleértve az üres halmazt vagy ∅-t is), véges és 2n elemek, ahol n az M elemek száma. Például, ha:
(1, 3, 41)
A beállított teljesítmény a következő legyen: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Mint láthatjuk, a három elemből álló véges halmaz hatványkészlete nyolc (23) elemek.