A matematikai elemzés a matematika egyik ága. Ez a valós és komplex számok, valamint azok ábrázolásának vizsgálatára összpontosít; akár betűk használatával.
Különösen a matematikai elemzés foglalkozik olyan témákkal, mint deriváltak, integrálok, korlátok, sorok és különféle komplex függvények.
A matematikai elemzés célja összetett számítások megoldása absztrakció útján. Ehhez olyan eszközöket használ, mint például a függvények.
A matematikai elemzés története
A matematikai elemzés története a klasszikus Görögországig nyúlik vissza. Eudoxus, Knidos és Archimédész matematikusok használták ugyan azokat a fogalmakat, mint a határ és a konvergencia, bár formális módon nem fejlesztették őket. Ez a geometriai ábrák területének és térfogatának kiszámításához.
Később, a 12. században Bhaskara hindu matematikus kifejlesztette a differenciálszámítás elemeit. A 14. században aztán egy másik Madhava nevű hindu matematikus különféle matematikai sorozatok tanulmányozásának szentelte magát, mint például a végtelen sorok, a hatványsorok és a Taylor-sorozatok.
Idővel, a XVII. Században bekövetkezett az, amit egyesek a matematikai elemzés valódi eredetének tartanak. Mindez az olyan fejlemények megjelenése után, mint például Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz és Pierre de Fermat a kalkulus területén.
Így a 18. században más témákkal folytatódott az előrelépés, például a differenciálegyenletek, amelyek már a 19. században kiemelték ezen a területen olyan számokat, mint Augustin Louis Cauch matematikus, Siméon Denis Poisson, Jean-Baptiste Joseph Fourier, Bernhard Riemann, Karl Weierstrass, Richard Dedekind, Camille Jordan és René-Louis Baire.
Ezzel a bázissal a 20. században kiemelkedik Henri Léon Lebesgue, David Hilbert és Stefan Banach. Ez utóbbi kettő a vektorterek tanulmányozásának volt szentelve.
A matematikai elemzés területei
A matematikai elemzés a következő területeket fedi le:
- Valódi elemzés: A származékok és integrálok, valamint a határok és sorok tanulmányozása. Magában foglalja a differenciálegyenleteket, a differenciálgeometriát, a valószínűségelméletet (a matematika ága, amely véletlenszerű eseményeket vizsgál) és a numerikus elemzést (a matematika olyan ága, amely a probléma megközelítő megoldásának megszerzésére szolgáló módszereket tanulmányozza).
- Nem valós elemzés: Azok a testek elemzése, amelyek nem valós számok. Például összetett számok. Más szavakkal, azokat, amelyek valós szám és képzeletbeli szám összefoglalásaként ábrázolhatók.
- Funkcionális elemzés: A matematika azon ága, amely a funkciók terét tanulmányozza. Ez egy funkciókészlet az A halmazból a B halmazba.
- Topológia: A matematika egy ága kutatja a geometriai alakok vagy testek tulajdonságait, amelyek tulajdonságai nem változnak, ha összehúzódnak, kitágulnak vagy deformálódnak.