A Cholesky-bontás az LU alsó-felső részéből származó speciális LU-mátrix-bontás, amely egy mátrixot két vagy több mátrix szorzatába faktorizál.
Más szavakkal, a Cholesky-bontás abból áll, hogy egy azonos számú sort és oszlopot (négyzetmátrixot) tartalmazó mátrixot egyenlővé teszünk egy mátrixszal, amelynek nullái vannak a főátló felett, szorozva a főátló alatt nullákkal átültetett mátrixával.
Az LU bomlás, a Cholesky-vel ellentétben, különféle típusú négyzetmátrixokra alkalmazható.
Koleszkás bomlási jellemzők
A Cholesky-bontás a következőkből áll:
- Egy felső háromszög négyzetmátrix: Négyzetmátrix, amelynek csak a nullája van a főátló alatt.
- Alsó háromszög négyzetmátrix: Olyan mátrix, amelynek csak a nullája van a főátló felett.
Matematikailag, ha létezik pozitív meghatározott szimmetrikus mátrix, ÉS, akkor létezik egy alacsonyabb háromszög alakú szimmetrikus mátrix, K, azonos dimenzióval, mint ÉSeredményeként:
A fenti mátrix E. Cholesky mátrixaként jelenik meg. Ez a mátrix az E mátrix négyzetgyökeként működik. Tudjuk, hogy a négyzetgyök tartománya:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Amelyet minden nem negatív valós számban definiálunk. A négyzetgyökhöz hasonlóan a Cholesky-mátrix is csak akkor létezik, ha a mátrix félpozitív határozott. A mátrix félig pozitív, ha a nagyobb kiskorúak pozitív vagy nulla determinánssal rendelkeznek.
Cholesky-bomlása ÉS olyan átlós mátrix, amely:
Láthatjuk, hogy a mátrixok négyzetesek és tartalmazzák az említett jellemzőket; az első mátrixban a főátló fölött a nullák háromszöge, az átalakított mátrixban pedig a főátló alatt a nullák háromszöge.
Cholesky bontási alkalmazások
Pénzügyben arra használják, hogy a független normál változók realizációit normál változókká alakítsák, korrelációs mátrix szerint korrelálva ÉS.
Ha N független normálok (0,1) vektora, ebből következik, hogy Ñ a normálok (0,1) vektora ÉS.
Példa Cholesky-bontásra
Ez a legegyszerűbb példa, amelyet a Cholesky-dekompozícióról találhatunk, mivel a mátrixoknak négyzetnek kell lenniük, ebben az esetben a mátrix (2 × 2). Két sor két oszloppal. Ezenkívül megfelel annak a jellemzőnek, hogy a főátló felett és alatt nullák vannak. Ez a mátrix félig pozitív, mivel a nagyobb kiskorúak pozitív meghatározóval rendelkeznek. Meghatározzuk:
Megoldás: c2 = 4; b = c = -2; nak nek2+ b2 = 5; négy lehetséges Cholesky-mátrixunk van:
Végül kiszámoljuk, hogy megtaláljuk (a, b, c). Ha megtaláljuk őket, megkapjuk a Cholesky-mátrixokat. A számítás a következő:
