Az inverz mátrix egy mátrix lineáris transzformációja a mátrix determinánsának inverzét megszorozva a kapcsolódó transzponált mátrixszal.
Más szavakkal, az inverz mátrix a determináns inverzének szorzata az átültetett mellékmátrixszal.
Ajánlott cikkek: a mátrix, a négyzetmátrix, a főátló és a mátrixokkal végzett műveletek meghatározója.
Adott bármely X mátrix olyan, hogy
A 2. rendű mátrix inverz mátrix képlete
Ekkor X inverz mátrixa lesz
Ezzel a képlettel megkapjuk a 2. rendű négyzetmátrix inverz mátrixát.
A fenti képlet a mátrix determinánsával is kifejezhető.
A 2. rendű mátrix inverz mátrix képlete
A nevezőben az X körüli két párhuzamos vonal azt jelzi, hogy ez az X mátrix meghatározója.
Amikor egy négyzetmátrixnak inverz mátrixa van, akkor azt mondjuk, hogy ez egy szabályos mátrix.
Követelmények
Az n sorrendű mátrix inverz mátrixának megtalálásához a következő követelményeket kell teljesítenünk:
- A mátrixnak négyzetmátrixnak kell lennie.
A sorok számának (n) meg kell egyeznie az oszlopok számával (m). Vagyis a mátrix sorrendjét n-nek kell adni, mivel n = m.
- A meghatározónak nem nullának kell lennie (0).
A mátrix meghatározójának nem nullának kell lennie (0), mivel nevezőként vesz részt a képletben. Ha a nevező nulla lenne (0), határozatlanságunk lenne.
Ha a nevező (ad - bc) = 0, vagyis az X mátrix determinánsa nulla (0), akkor az X mátrixnak nincs inverz mátrixa.
Ingatlan
Az n rendű X négyzetmátrixnak lesz egy inverz X mátrixa, amelynek rendje n, X-1, olyan, hogy ezt teljesíti
A szorzás elemeinek sorrendje nem releváns, vagyis bármely négyzetmátrix inverzmátrixszal való szorzása mindig azonos sorrendű azonosítómátrixot eredményez.
Ebben az esetben az X mátrix sorrendje 2. Tehát az előző tulajdonságot átírhatjuk:
Gyakorlati példa
Keresse meg az V. mátrix inverz mátrixát
A példa megoldására alkalmazhatjuk a képletet, vagy először kiszámíthatjuk a determinánst, majd behelyettesíthetjük.
Képlet
Képlet meghatározóval
Először kiszámoljuk az V mátrix determinánsát, majd behelyettesítjük a képletbe.
Tehát megkapjuk, hogy az V mátrix determinánsa eltér a nullától (0), és azt mondhatjuk, hogy az V mátrixnak van inverz mátrixa.
Ugyanezt az eredményt kapjuk a képlet segítségével, vagy először kiszámítjuk a determinánt, majd behelyettesítjük.
Az inverz mátrix sorrendje megegyezik az eredeti mátrix sorrendjével. Ebben az esetben azonos számú n és m oszlop lesz mind az V., mind a V mátrixban-1.
Átültetett mátrix