Az ismétlés nélküli kombinatorika alatt azokat a különböző halmazokat értjük, amelyek «n» elemekkel hozhatók létre, az x közül x-ben kiválasztva. Minden halmaznak legalább az egyik elemében különböznie kell az előzőtől (a sorrend nem számít), és ezeket nem lehet megismételni.
Az ismétlés nélküli kombinatorika gyakran használatos a statisztikában és a matematikában. Ez sok valós élethelyzetbe illik, és alkalmazása egyszerű.
Vegyünk például egy diákot, akinek 4 kérdéses vizsgája van. A 4 kérdés közül hármat kell választania. Hány különböző kombinációt tudna létrehozni a hallgató? Ha kicsit okoskodunk, látnánk (anélkül, hogy a képletet ténylegesen alkalmaznánk), hogy a hallgató kiválaszthatja, hogyan válaszoljon a 3 kérdésre négyféle módon.
- 1. készlet / opció: Válaszoljon az 1,2,3 kérdésekre.
- 2. készlet / opció: Válaszoljon az 1,2,4 kérdésekre.
- 3. készlet / opció: Válaszoljon az 1,3,4 kérdésekre.
- 4. készlet / opció: Válaszoljon a 2,3,4.
Mint láthatjuk, a tanuló 3 elemből (x) 4 halmazt (n) alkothat. Ezért az ismétlés nélküli kombinatorika megmondja nekünk, hogyan lehet véges mennyiségű adatot / megfigyelést kialakítani vagy csoportosítani egy bizonyos mennyiségű csoportokba anélkül, hogy bármely elem megismételhető lenne az egyes csoportokban. Ez a fő különbség az ismétléses kombinatorikus (az egyes csoportok elemei megismételhetők) és az ismétlés nélküli kombinatorikusok között (egyetlen elem sem ismételhető meg az egyes csoportokban)
Ebben a példában kiemelem, hogy a kombinatorika esete ismétlés nélkül történik, mivel a hallgató nem választhatja meg a kérdések egyikét sem. Ezért a halmazok elemei nem ismételhetők meg.
Az előző esetben, tekintettel arra, hogy az elemek teljes száma kicsi és a halmaz mennyisége magas, az opciók száma kicsi, és a képlet alkalmazása nélkül könnyen levezethető. A képlet közvetlen alkalmazása esetén a számláló 24 (4 * 3 * 2 * 1) és a nevező 6 (3 * 2 * 1 * 1) lenne, amellyel ugyanúgy eljutnánk a számításhoz anélkül, hogy azon gondolkodnánk, hogyan csoportosíthatnánk ezt a négy kérdést három csoportba.
Hogyan lehet kiszámítani a kombinatorikát ismétlés nélkül?
Az ismétlés nélküli kombinatorikus képlete a következő:
Hol:
- n = Összes megfigyelés
- x = A kijelölt elemek száma
Például kombinatorikus ismétlés nélkül
Képzeljünk el egy katonát, amely 12 katonából áll. A hadsereg kapitánya 2 katonából álló csoportokat akar létrehozni, hogy behatoljanak az ellenséges vonalak mögé, különböző pontokon, hány különböző csoportot tudott létrehozni?
A probléma megoldásához először meg kell határoznunk az elemek teljes számát. Ebben az esetben összesen 12 katona van, ezért már megvan a n. Mivel a kapitány 2 fős csoportokat akar, már tudjuk, mi az x. Ennek ismeretében helyettesíthetjük a képletet, és a csoportkombinációk száma 2 lehet.
- n = 12
- x = 2
Helyettesítéskor:
A tényezőt a nevezőre alkalmazva 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479.001.600 lesz. A nevezőre 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7 257 600 van. Kombinációs számunk = 479 001 600/7 257 600 = 66.
Mint láthatjuk, a kapitány 66 különféle katonapárt alakíthat ki a 12 közül.